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Rectification au sujet du mémoire sur les équations aux dérivées partielles. (French) JFM 22.0357.03
Es handelt sich hier um die Integration der partiellen Differentialgleichung: \[ \varDelta u \equiv A\;\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 2B\;\frac{\partial^2 u}{\partial x\partial y} +C\;\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} =F \left( u, \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, x, y\right), \] wo \(A,B,C\) Functionen von \(x,y\) darstellen, und die Grenzbedingungen verschieden sind, je nachdem die Discriminante \(B^2 -AC\) positiv oder negativ ist. Im ersten Falle (siehe JFM 22.0357.01) sind \(\frac{\partial u}{\partial x}\), \(\frac{\partial u}{\partial y}\) auf einer Curve, \(u\) in einem Punkte derselben gegeben; im zweiten dagegen ist der Wert von \(u\) auf einer Linie bekannt. Man kann die folgenden zwei Formen als Typen der Gleichungen von positiver bezw. negativer Discriminante annehmen: \[ (1) \quad \frac{\partial^2 u}{\partial x\partial y} = F\left( u, \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, x,y \right), \] \[ (2) \quad \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} =F\left( u, \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, x,y \right). \]
Die von Herrn Picard eingeführte Annäherungsmethode besteht darin, dass man zuerst eine beliebige Function \(u_1\) annimmt und dann die Gleichungen: \[ \begin{aligned} & \varDelta (u_2) =F \left( u_1, \frac{\partial u_1}{\partial x}, \frac{\partial u_1}{\partial y}, x,y\right),\\ & \varDelta (u_3) =F\left( u_2, \frac{\partial u_2}{\partial x}, \frac{\partial u_2}{\partial y}, x,y \right),\\ \hdotsfor1\end{aligned} \] unter den vorgeschriebenen Grenzbedingungen nacheinander integrirt. Es kann sich ereignen, dass die Functionenreihe \(u_1, u_2, u_3\) nach einer bestimmten Grenzfunction convergirt, welche in diesem Falle das gesuchte Integral liefert.
Die Untersuchungen von Herrn Picard (siehe auch JFM 22.0357.02) beziehen sich zum grössten Teile auf die Gleichung (2) und auf einige besondere Fälle derselben. Ist Gleichung (2) linear, so existirt unter vorgegebenen Grenzbedingungen in jedem beliebigen Bereiche ein einziges Integral. Im allgemeinen Falle existirt immer ein Integral, wenn nur der Bereich hinreichend klein ist und die Function \(F\) in Bezug auf jedes von ihren Argumenten derivirbar ist; es kann aber auch mehrere verschiedene Integrale geben. Ist jedoch \(F\) von \(\frac{\partial u}{\partial x}\) und \(\frac{\partial u}{\partial y}\) unabhängig, ferner für jedes Wertsystem \(u,x,y\) positiv und nimmt mit \(u\) zu, so kann man beweisen, dass es, welches auch der vorgegebene Bereich sei, nicht zwei verschiedene Integrale geben kann. Wendet man dann die Annäherungsmethode an, so gelangt man nicht zu einer die Gleichung \(\varDelta u=F(u, x,y)\) befriedigenden Function \(u\), sondern zu zwei Functionen \(u,v\) für welche das Gleichungssystem: \[ \varDelta (u)= F(v,x,y), \quad \varDelta (v)= F(u,x,y) \] erfüllt ist; und man muss den Bereich gehörig verkleinern, um die zwei verschiedenen Functionen \(u,v\) auf eine einzige zu reduciren. Diese Beschränkung ist aber nur scheinbar, denn man kann das für einen hinreichend kleinen Bereich ermittelte Integral auf jeden beliebigen Bereich durch die Schwarz’sche alternirende Methode erweitern. Diese Methode ist auch dann anwendbar, wenn \(F\) für \(u=0\) verschwindet und \(u\) auf der Begrenzung durchgängig positiv sein soll.
Die Picard’sche Annäherungsmethode kann auch auf Systeme von gewöhnlichen Differentialgleichungen angewandt werden, wie der Verfasser im letzten Capitel seiner Abhandlung nachweist.

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Full Text: EuDML