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On some generalizations of the Leibniz differentiation formula and the binomial theorem. (Ueber einige Verallgemeinerungen der Leibniz’schen Differentiationsformel und des polynomischen Lehrsatzes.) (German) JFM 22.0258.03
Der Verfasser giebt einen Beweis der Leibniz’schen Formel für die \(n^{\text{te}}\) Ableitung eines Productes von \(k\) Functionen und drei Relationen, welche diese als besonderen Fall in sich enthalten, wendet seinen Satz auf Exponentialfunctionen an und erhält ausser zwei anderen Sätzen den folgenden: \((a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{k}+na)^{n}\) \[ =a_{2}\dots a_{k}\;\varSigma\;\frac{n!}{r_{1}!r_{2}!\dots r_{k}!}\;(a_{1}+r_{1}a)^{r_{1}}(a_{2}+r_{2}a)^{r_{2}-1}\dots(a_{k}+r_{k}a)^{r_{k}-1}, \] worin \(a,a_{1},a_{2},\dots,a_{k}\) irgend \(k+1\) Grössen bedeuten und die Summe der rechten Seite sich auf alle Systeme nicht negativer ganzer Zahlen \(r_{1},r_{2},\dots,r_{k}\) erstreckt, welche der Bedingung \(r_{1}+r_{2}+\cdots+r_{k}=n\) genügen. Diese Formel geht für \(k=2\) in eine von Abel (Oeuvres complètes, nouvelle édition Bd. I. S. 102) herrührende Verallgemeinerung des binomischen Lehrsatzes über.

MSC:
11B65 Binomial coefficients; factorials; \(q\)-identities
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