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Die Kräfte elektrischer Schwingungen nach der Maxwell’schen Theorie. (German) JFM 21.1152.01

a) Es bezeichne \(A\) die reciproke Lichtgeschwindigkeit \(V\) in der Luft; die Stromstärke und die Componenten \(X, Y, Z\) der elektrischen Kraft seien in elektrostatischem Mass gemessen, die Componenten \(L, M, N\) der magnetischen Kraft in elektromagnetischem Mass. Dann sind die Maxwell’schen Gleichungen \[ \text{(1)} \quad A\;\frac{dL}{dt} = \frac{dZ}{dy} - \frac{dY}{dz} \quad \text{etc.,} \quad A\;\frac{dX}{dt} = - \left( \frac{dN}{dy} - \frac{dM}{dz} \right) \quad \text{etc.,} \]
\[ \text{(2)} \quad \frac{dX}{dx} + \cdots = 0, \quad \frac{dL}{dx} + \cdots = 0. \] Das Feld sei symmetrisch um die \(z\)-Axe, also alle Grössen Functionen von \(\varrho = r \sin \vartheta\), \(z = r \cos \vartheta\), wo \(r\) den Abstand des Punktes vom Coordinatenanfang bezeichnet; die Componenten der elektrischen Kraft nach \(z\) und \(\varrho\) seien \(Z\) und \(R\), die auf der Meridianebene senkrechte Componente der Magnetkraft sei \(P\). Dann kann man alle übrigen Componenten gleich 0 annehmen und den Gleichungen (1) und (2) genügen durch \[ \text{(3)} \quad \begin{cases} &\quad \varDelta \varPi = A^2 \frac{d^2 \varPi}{dt^2},\\ R = - \frac{d^2 \varPi}{dz d\varrho}, & \quad Z = \varDelta \varPi - \frac{d^2 \varPi}{dz^2} = A^2 \frac{d^2 \varPi}{dt^2} - \frac{d^2 \varPi}{dz^2},\\ & \quad P = - A \frac{d^2 \varPi}{dt d\varrho}.\end{cases} \] Die elektrischen Kraftlinien sind die Schnittlinien der Meridianebenen mit den Flächen \(\varrho\;\frac{d\varPi}{d \varrho} =\) Const.
b) Das Feld werde durch einen im Coordinatenanfang liegenden elektrischen Doppelpunkt mit dem periodischen Moment \(\mu \sin nt\) gebildet, wo \(\mu = El\), \(E\) eine constante Elektricitätsmenge, \(l\) eine constante Länge bezeichnet. Die erste Gleichung (3) wird erfüllt durch \[ \varPi = \frac{\mu}{r} \;\sin (mr - nt), \] wo \[ m = \frac{\pi}{\lambda}, \quad n = \frac{\pi}{\tau}, \quad \frac{n}{m} = V = \frac{1}{A}. \] Für unendlich kleine Werte von \(r\) ist \[ \varPi_0 = - \frac{\mu}{r}\;\sin nt, \quad R_0 = - \frac{d\psi}{d\varrho}, \quad Z_0 = - \frac{d\psi}{dz}, \] wo \[ \psi = \frac{d\varPi_0}{dz} = - \mu \sin nt\;\frac{d \frac{1}{r}}{dz}\,; \] \(\psi\) ist also in der That das Potential des elektrischen Doppelpunkts vom Moment \(\mu \sin nt\). Ferner ist \[ P_0 = - \frac{An}{r^2}\;\mu \cos nt \sin \vartheta = - A\;\frac{d}{dt}\;(E \sin nt)\;\frac{l \sin \vartheta}{r^2} = - Ai\;\frac{l \sin \vartheta}{r^2}, \] d. h. \(P_0\) ist die Magnetkraft eines Stromelements \(li\), wo \(i = \frac{d}{dt} (E \sin nt)\). In der \(z\)-Axe ist \(R = P = 0\); in der Aequatorebene ist \(R = 0\); für sehr grosse Werte von \(r\) ist \(R \sin \vartheta + Z \cos \vartheta = 0\); d. h. die elektrische Kraft ist ebenso wie die magnetische senkrecht auf dem Radius. Im allgemeinen Falle lassen sich die elektrischen Kraftlinien \[ C = \frac{1}{\mu m}\;\varrho\;\frac{d\varPi}{d \varrho} = \sin^2 \vartheta \left[\cos (mr - nt) - \frac{\sin (mr - nt)}{mr} \right] = \alpha \beta \] construiren, indem man die Constante \(C\) auf irgend eine Art in ein Product \(\alpha_1 \beta_1\) zerlegt; man erhält dann jedesmal einen Punkt einer Kraftlinie als Schnittpunkt des Radius \(\alpha = \alpha_1\) mit dem Kreise \(\beta = \beta_1\). Der Verfasser hat eine Anzahl solcher Kraftlinien für verschiedene Zeiten gezeichnet und findet, dass diese Figuren die Resultate seiner früheren Beobachtungen im wesentlichen wiedergeben.
c) Der Verfasser betrachtet weiter das Feld um einen von einem periodischen Strom durchflossenen geradlinigen Draht. Es sei \(K(x)\) die Cylinderfunction zweiter Art und nullter Ordnung, welche der Gleichung \[ \frac{d^2 K}{dx^2} + \frac{1}{x}\;\frac{dK}{dx} - K = 0 \] genügt, also \[ K(x) = \int_1^\infty e^{-xt}\;\frac{dt}{\sqrt{t^2 - 1}}\,; \]
\[ \text{für} \;x = 0 \;\text{ist} \;K(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}}\;e^{-x}. \]
\[ \text{für} \;x = \infty \;\text{ist} \;K(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}} e^{-x}. \] Ist wieder \(m = \frac{\pi}{\lambda}\), \(n = \frac{\pi}{\tau}\), \(\frac{n}{m} = V_0\) die Fortpflanzungsgeschwindigkeit im Draht, ferner \[ p^2 = m^2 - A^2 n^2 = m^2 \left( 1 - \frac{V_0^2}{V^2} \right), \] so wird die erste Gleichung (3) erfüllt durch \[ \varPi = \frac{2J}{An}\;K (p\varrho) \sin \varphi, \quad \text{wo} \quad \varphi = mz - nt. \] Daraus ergiebt sich fúr unendlich kleine Werte von \(\varrho\): \[ R_0 = \frac{2Jm}{An}\;\frac{1}{\varrho}\;\cos \varphi, \quad Z_0 = \frac{2Jp^2}{An}\;K (p \varrho) \sin \varphi, \quad P_0 = - \frac{2J}{\varrho} \cos \varphi. \] Hiernach ist \(\frac{Z_0}{R_0} = - \frac{p}{m}\;p\varrho \log (p\varrho) \text{tg\,} \varphi\), also die elektrische Kraft nahezu auf der Oberfläche des Drahtes senkrecht; nach der Maxwell’schen Theorie soll dies genau stattfinden, da ihre der Oberfläche parallele Componente sich continuirlich ins Innere fortsetzt und hier verschwindet; dies ist in der That der Fall, wenn \(p = 0\) ist, d. h. wenn die Fortpflanzungsgeschwindigkeit im Draht gleich der in der Luft ist (was allerdings die früheren Versuche des Verfassers nicht bestätigten, was aber durch spätere Beobachtungen wahrscheinlich geworden ist. D. Ref.). \(R_0\) ist die Kraftcomponente des unendlichen Drahtes, wenn sich auf seiner Längeneinheit eine Elektricitätsmenge \(e = \frac{Jm}{An} \cos \varphi\) befindet, da dann für unendlich kleine Werte von \(\varrho\) die auf dem Draht senkrechte Kraftcomponente \(= \frac{2e}{\varrho}\) ist. \(P_0\) ist die Magnetkraft eines Stroms \[ i = - \frac{1}{4\pi A}\;2 \pi \varrho P_0 = \frac{J}{A}\;\cos \varphi, \] welcher in der That der Gleichung \(\frac{di}{dz} = - \frac{de}{dt}\) genügt.

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