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On the problem of the rotation of a solid body about a fixed axis. (Sur le problème de la rotation d’un corps solide autour d’un point fixe.) (French) JFM 21.0935.01
Diese mit dem Bordinpreise der französichen Akademie gekrönte Schrift bezeichnet wohl einen der hervorragendsten Fortschritte, welche in neuerer Zeit in der Lehre von der Bewegung eines starren Körpers um einen festen Punkt gemacht sind. Was es doch bisher nur in zwei ganz speciellen Fällen möglich, die Differentialgleichungen der Rotation eines schweren Körpers um einen festen Punkt zu integriren, nämlich erstens, wenn der Schwerpunkt mit dem Aufhängungspunkte zusammenfällt, und zweitens, wenn der Körper ein Rotationskörper ist und der Aufhängungspunkt auf der Axe des letzteren liegt. In beiden Fällen wird die Lösung durch eindeutige Functionen bewerkstelligt, welche im Endlichen keine wesentlich singuläre Stelle besitzen. Die Componenten der Rotationsgeschwindigkeit und die Richtungscosinus der Verticalen nach den Axen des Körpers lassen sich also in der Umgebung eines beliebigen Zeitpunktes unter der Form \[ p = t^{-m_1} (p_0 + t {\mathfrak{P}}(t)) \quad \text{und} \quad \gamma = t^{-n_1} (f_0 + t {\mathfrak{P}} (t)) \] darstellen. Die Verfasserin fragt nun, ob sich die allgemeine Lösung des Rotationsproblems immer in dieser Form darstellen lässt, und kommt dabei zu einem negativen Resultat. Es müssten sich nämlich die Coefficienten der Reihenentwickelung so bestimmen lassen, dass sie von fünf willkürlichen Constanten abhängen, und das fordert gewisse Beziehungen zwischen den Trägheitsmomenten und der Lage des Schwerpunktes. Ausser in den beiden schon bekannten Specialfällen sind diese Bedingungen erfüllt, wenn zwei der Hauptträgheitsmomente des Aufhängungspunktes einander gleich und doppelt so gross wie das dritte sind, und wenn gleichzeitig der Schwerpunkt in der Ebene der gleichen Trägheitsmomente liegt. Frau von Kowalevski hat später gezeigt, dass dieser Fall der einzige ist, welcher ausser den von früher her bekannten Fällen die oben hervorgehobene charakteristische Eigenschaft hat.
Wegen der Gleichheit zweier der Hauptträgheitsmomente darf die erste Hauptaxe durch den Schwerpunkt des Körpers gelegt werden. Dann nehmen die Differentialgleichungen des Problems die Form an: \[ \begin{aligned} & 2\;\frac{d p}{d t} = qr, \quad \quad \frac{d \gamma}{d t} = r \gamma' - q\gamma'',\\ & 2\frac{d q}{d t} = - pr - c_0 \gamma'', \quad \frac{d \gamma'}{d t} = p \gamma'' - r \gamma,\\ & \frac{d r}{d t} = c_0 \gamma', \quad \quad \frac{d \gamma''}{d t} = q\gamma - p \gamma'.\end{aligned} \] Ausser den allgemeinen Integralen (Satz von der Erhaltung der lebendigen Kraft und Flächensatz): \[ \begin{aligned} 2& (p^2 + q^2) + r^2 = 2c_0 \gamma + 6l_1,\\ 2& (p\gamma + q \gamma') + r\gamma'' = 2l,\\ &\gamma^2 + \gamma'^2 + \gamma''^2 = 1,\end{aligned} \] besitzt der vorliegende Specialfall, ebenso wie die älteren Fälle, ein besonderes algebraisches Integral. Da nämlich: \[ \frac{d \{ (p + qi)^2 + c_0 (\gamma + \gamma' i)\}}{d t} = - ri \{ (p + qi)^2 + c_0 (\gamma + \gamma' i)\}, \] \[ \frac{d \{ (p - qi)^2 + c_0 (\gamma - \gamma' i)\}}{d t} = ri \{ (p - qi)^2 + c_0 (\gamma - \gamma' i)\} \] ist, so erhält man das neue Integral \[ \{ (p + qi)^2 + c_0 (\gamma + \gamma' i)\} \;\{ (p - qi)^2 + c_0 (\gamma - \gamma' i)\} = k^2. \] Vermöge der vier Integralgleichungen lassen sich die Grössen \(\gamma, \gamma', \gamma'', p, q, r\) algebraisch durch zwei Hülfsgrössen \(s_1, s_2\) ausdrücken, welche der folgenden quadratischen Gleichung genügen: \[ (s - \tfrac 12\;l_1)^2 - (s - \tfrac 12\;l_1) \frac{1}{q^2} \{ (p^2 + q^2)^2 - 6l_1 (p^2 + q^2) - 4lc_0 p - c_0^2 + k^2 \} \] \[ - \frac{1}{4q^2} \{ 6l_1 (p^2 + q^2)^2 + 4 (c_0^2 - k^2) p^2 + 8lc_0 p (p^2 + q^2) - 6l_1 (c_0^2 - k^2) + 4l^2 c_0 \} = 0. \] Es wird zunächst die Abhängigkeit der Grössen \(s_1, s_2\) von der Zeit ermittelt; nach einiger Rechnung ergiebt sich, dass \[ \frac{ds_1}{\sqrt{R_1 (s_1)}} + \frac{ds_2}{\sqrt{R_1 (s_2)}} = 0, \quad \frac{s_1 ds_1}{\sqrt{R_1 (s_1)}} + \frac{s_2 ds_2}{\sqrt{R_1 (s_2)}} = dt, \] wo \[ R_1 (s) = - ((2s - l_1)^2 - k^2)\; (s^3 - \tfrac 14 (k^2 - c_0^2 + 3l_1^2) s - \tfrac 14 (l_1 (k^2 - c_0^2 - l_1^2) + l^2 c_0^2)) \] gesetzt ist.
Mit geschickter Benutzung der Eigenschaften der elliptischen Functionen werden nun zunächst die Grössen \(p, q\) durch hyperelliptische Functionen ausgedrückt. Setzt man die drei Nullstellen von \[ s^3 - \tfrac 14 (k^2 - c_0^2 + 3l_1^2)s - \tfrac 14 (l_1 (k^2 - c_0^2 - l_1^2) + l^2 c_0^2) \] gleich \(e_1, e_2, e_3\), ferner \[ \begin{aligned} & L = i (e_2 - e_3) \sqrt{l_1 + e_1}, \quad L_1 = (e_2 - e_3) \sqrt{(l_1 + e_2)\; (l_1 + e_3)},\\ & M = i (e_3 - e_1) \sqrt{l_1 + e_2}, \quad M_1 = (e_3 - e_1) \sqrt{(l_1 + e_3) (l_1 + e_1)},\\ & N = i (e_1 - e_2) \sqrt{l_1 + e_3}, \quad N_1 = (e_1 - e_2) \sqrt{(l_1 + e_1) (l_1 + e_2)}\end{aligned} \] und \[ P_{\alpha} = \sqrt{(s_1 - e_{\alpha})(s_2 - e_{\alpha})}, \quad P_{\alpha \beta} = \frac{P_{\alpha} P_{\beta}}{s_1 - s_2} \left\{\frac{\sqrt{R_1 (s_1)}}{(s_1 - e_{\alpha} )(s_1 - e_{\beta})} - \frac{\sqrt{R_1 (s_2)}}{(s_2 - e_{\alpha} )(s_2 - e_{\beta})} \right\}, \] so ergiebt sich \[ p = -i\;\frac{L_1 P_1 + LM_1 P_2 + N_1 P_3}{LP_1 + MP_2 + NP_3}, \quad q = \frac{2(e_1 - e_2)(e_2 - e_3)(e_3 - e_1)}{LP_1 + MP_2 + NP_3}. \] Die Grössen \(r, \gamma, \gamma', \gamma''\) werden unter Benutzung der zwischen den Grössen bestehenden Differentialgleichungen und einiger Differentialgleichungen berechnet, welche für die hyperelliptischen Functionen gelten. So ergiebt sich zunächst: \[ \begin{aligned} r & = -i \frac{LP_{23} + MP_{31} + NP_{12}}{LP_1 + MP_2 + NP_3},\\ c_0 \gamma'' & = \frac{L_1 P_{23} + M_1 P_{31} + N_1 P_{12}}{LP_1 + MP_2 + NP_3},\end{aligned} \] nicht, wie irrtümlich in der Abhandlung auf Seite 214 steht: \[ c_0 \gamma'' = \frac{L_1 P_{23} + M_1 P_{31} + N_1 P_{12}}{LP_{23} + MP_{31} + NP_{12}}. \] Die beiden andern Richtungscosinus lassen sich ebenfalls in eindeutiger Weise durch hyperelliptische Functionen darstellen; allerdings sind die Formeln, namentlich die für \(\gamma'\), erheblich verwickelter als die vorhergehenden. Es mag dem Referenten die Bemerkung gestattet sein, dass sich dieselben etwas übersichtlicher gestalten lassen.
Nachdem die Verfasserin die Thetafunctionen eingeführt hat, geht sie zur Bestimmung der sechs fehlenden Richtungscosinus über. Sie gelangt durch Ueberlegungen allgemeiner Natur zu dem Resultat, dass sich diese ebenfalls durch Thetafunctionen darstellen lassen müssten, verzichtet aber in Anbetracht der Rechnungsschwierigkeiten auf die wirkliche Ausführung.
Im Schlusscapitel untersucht die Verfasserin noch die Frage, ob es möglich sei, den vorliegenden Fall zu verwirklichen. Es ergiebt sich, dass die Trägheitsmomente für den Schwerpunkt des Körpers der Bedingung genügen müssen: \[ A_1 - 2B_1 + 2C_1 = 0 \quad (A_1 > B_1 > C_1), \] (welche z. B. für ein Ellipsoid erfüllt ist, dessen beide grössere Axen in dem Verhältnis \(\sqrt{3} : 1\) stehen). Der Aufhängungspunkt muss auf der Axe des grössten Trägheitsmomentes gewählt werden, und zwar in der Entfernung \[ s = \sqrt{ \frac{A_1 - B_1}{M}}, \] wo \(M\) die Masse des Körpers bezeichnet.

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