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Contribution to the theory of the functions of the elliptic cylinder and the circular cylinder. (Beitrag zur Theorie der Functionen des elliptischen und des Kreis-Cylinders.) (German) JFM 21.0521.02
Pr. Berlin. \(3^{\text{te}}\) städt. h. Bürgersch. 19 S. \(4^{\circ}\) (1889).
Das Ziel der Untersuchung ist, das Verhalten der Function des elliptischen Cylinders in der Nähe des unendlich fernen Punktes zu ermitteln; und zwar geschieht dies durch analoge Betrachtungen, wie sie der Verfasser im vorigen Jahre (cf. F. d. Math. XX. 1888. 508, JFM 20.0508.01) auf die Function des parabolischen Cylinders angewandt hatte. Die Differentialgleichung, der die Function des elliptischen Cylinders genügt, tritt bei verschiedenen Autoren in verschiedener Form auf. Alle diese verschiedenen Formen lassen sich aus der folgenden herleiten: \[ (1) \quad \frac{d^2 z}{dw^2} = \left[ h^2 \left( \frac{\beta e^{miw} - \alpha e^{- miw}}{2mi} \right)^2 - \nu^2 \right] z. \] Um die Integrale dieser Differentialgleichung in der Umgebung der unendlich fernen Stelle darzustellen, verlegt man die letztere ins Endliche mittels der Substitution \[ s = \left( \frac{2mi}{\beta e^{miw} - \alpha e^{- miw}} \right)^2 \] und führt zugleich \(y = zs^{-1}\) als neue abhängige Variable ein. Dadurch geht (1) in die Gleichung über, die der Verfasser bei einer früheren Gelegenheit (cf. F. d. M. XVIII. 1886. 432, JFM 18.0432.01) als algebraische Normalform der in Rede stehenden Differentialgleichung bezeichnet hatte. In dieser Normalform hat nun der Coefficient der zweiten Ableitung den Factor \(s^3\); der Exponent von \(s\) übersteigt also die Ordnung der Differentialgleichung, und der Punkt \(s = 0\) ist in Folge dessen eine Stelle der Unbestimmtheit für den Gültigkeitsbereich des Integrals. Die Betrachtung der Differentialgleichung dritter Ordnung, welcher der Quotient zweier particulären Integrale der Gleichung für \(y\) genügt, führt nun darauf, von \(y\) den Factor \(e^{\pm \frac{hi}{m} \cdot \frac{1}{v}}\), so \(v = \sqrt{s}\) ist, abzusondern. Der andere Factor ist dann durch eine Gleichung bestimmt, die keine Stelle der Unbestimmtheit mehr hat; und aus dieser Gleichung erhält man zwei particuläre Integrale für \(z\): \[ z_1 = a_1 \sqrt{v}\;\frac{e^{\frac{hi}{m} \cdot \frac{1}{v}}}{\root4\of{\alpha \beta v^2 - m^2}}\;R_1, \]
\[ z_1^{*} = a_1^{*} \sqrt{v}\;\frac{e^{- \frac{hi}{m} \cdot \frac{1}{v} }}{\root4\of{\alpha \beta v^2 - m^2}}\;R_2, \] wobei \(R_1\) und \(R_2\) zwei nach steigenden Potenzen von \(\frac{v}{2him}\) fortschreitende Reihen sind. Mittels der oben erwähnten Differentialgleichung, welcher der Quotient zweier particulären Integrale genügt, ergeben sich aber noch zwei weitere particuläre Integrale der Gleichung für \(z\), nämlich: \[ z_2 = l' z_{1}^{*} + B z_1 \int \frac{dv}{v}\;e^{- \frac{2hi}{m} \cdot \frac{1}{v}} - l_1\;\frac{v \sqrt{v} e^{- \frac{hi}{m} \frac{1}{v} }}{\root4\of{\alpha \beta v^2 - m^2}}\;\frac{Bm}{2hi}\;R_3, \]
\[ z_2^{*} = l'' z_{1} + B^{*} z_1^{*} \int \frac{dv}{v}\;e^{+ \frac{2hi}{m} \frac{1}{v}} + l_2 \;\frac{v \sqrt{v} e^{+ \frac{hi}{m} \frac{1}{v} }}{\root4\of{\alpha \beta v^2 - m^2}}\;\frac{B^{*} m}{2hi}\;R_4. \] Darin sind \(R_3\) und \(R_4\) wieder zwei nach steigenden Potenzen von \(\frac{v}{2him}\) fortschreitende Reihen; die Constanten \(B\) und \(B^{*}\) sind Reihen, die nach Potenzen von \(\frac{2hi}{m}\) fortschreiten.
Es scheinen also in der Umgebung von \(v = 0\) oder \(s = 0\) mehr als zwei von einander unabhängige particuläre Integrale der Gleichung (1) zu existiren. Nur falls die Constanten \(B\) und \(B^{*}\) verschwinden, reducirt sich die Zahl der unabhängigen particulären Integrale auf 2; bloss in diesem Falle ist \(v = 0\) eine Stelle der Unbestimmtheit ohne Verzweigung, in allen anderen Fällen aber eine Stelle der Unbestimmtheit mit Verzweigung. Da der Verfasser über \(B\) und \(B^{*}\) nichts Näheres zu ermitteln vermag, so bleibt hier eine wesentliche Lücke in der Untersuchung.
Wendet man die obigen Betrachtungen speciell auf die Bessel’schen Functionen an, wozu nur \[ \alpha = 0, \quad \frac{h^2 \beta^2}{4} = -1, \quad m = 1, \quad h^2 = 1 \] zu setzen ist, so ergiebt sich aus einer linearen Verbindung der oben mit \(z_1\) und \(z_1^{*}\) bezeichneten integrale die Jacobi’sche, bei ganzzahligem Index \(\nu\) seciconvergente Reihe für die Bessel’sche Function. Die Herleitung dieser Reihe direct aus der Differentialgleichung ist neu. Endlich wird für beliebige \(\nu\) der Zusammenhang der Integrale \(z_1\) und \(z_1^{*}\) mit den Functionen \(J_{\nu} (e^{iw})\) und \(J_{-\nu} (e^{iw})\) ermittelt.

MSC:
33C10 Bessel and Airy functions, cylinder functions, \({}_0F_1\)