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Methoden zur Theorie der ternären Formen. (German) JFM 21.0111.03
Leipzig. Teubner (1889).
Die ersten vier Paragraphen des ersten Abschnittes geben im wesentlichen diejenigen Gedanken wieder, welche der Verfasser in einer früheren Note “Ueber den Begriff der Invariante algebraischer Formen”, Berichte der kgl. sächs. Gesellschaft d. Wiss. Nov. 1887, dargelegt hat und über welche F. d. M. XIX. 1887. 103 (siehe JFM 19.0103.01) referirt worden ist. Neu hinzugekommen ist die Definition der “analytischen Invariante”. Unter einer analytischen Invariante versteht der Verfasser eine homogene analytische Function der Coefficienten der Grundform, welche die Invarianteneigenschaft besitzt, und entsprechend ist die analytische Covariante eine solche Function, welche noch von Veränderlichen abhängt und in diesen ganz und rational ist. Es wird der Satz aufgestellt, dass jede analytische Invariante eine analytische Function einer endlichen Zahl von ganzen rationalen Invarianten ist. In \(\S\) 5 hebt der Verfasser die Vorteile der symbolischen Methode hervor. Dieselben bestehen hiernach vor allem darin, dass man Identitäten zwischen den Invarianten stets sichtbar machen kann, ohne das Gebiet der Invarianten zu verlassen. Dies zeigt für das binäre Formengebiet der bekannte Satz von Gordan, demzufolge der symbolische Ausdruck für die linke Seite einer Identität als Summe von symbolischen Ausdrücken dargestellt werden kann, deren jeder einen Factor von der Gestalt \[ (ab)(cd) + (ac)(db) + (ad)(bc) \] enthält. Somit ist “das symbolische Rechnen nicht bloss ein willkürlicher Kunstgriff zur Bildung von Invarianten, sondern eine erschöpfende Methode, welche die Theorie der ganzen Invarianten und damit die Theorie der analytischen Invarianten überhaupt beherrscht”. In \(\S\) 6 werden die Beziehungen dargelegt zwischen der Invariantentheorie, d. h. der Algebra der linearen Transformationen und der projectiven Geometrie als einer “Geometrie der linearen Transformationen”, wobei der Verfasser zugleich ausführt, dass die symbolische Rechnung dem Wesen der Geometrie des Lineals in besonders vollkommener Weise angepasst ist. Der zweite Abschnitt des Buches enthält 20 Paragraphen. Zunächst wird der bekannte Satz bewiesen: Wenn eine Function der Coefficienten der Grundformen nach Ausführung einer linearen Transformation einen Factor erhält, welcher nur von den Transformationscoefficienten abhängt, so ist dieser Factor eine Potenz der Transformationsdeterminante. Nachdem der Verfasser die symbolische Schreibart eingeführt hat, werden allgemein die symbolischen Ausdrücke für die linear transformirten Coefficienten der Grundformen aufgestellt. Dabei wendet der Verfasser für die Grundform folgende Schreibweise an: \[ F = p_{1} {\mathfrak{Y}}_{1} \varPi_{1} (Y, V) + p_{2} {\mathfrak{Y}}_{2} \varPi_{2} (Y, V) + \cdots + p_{N} {\mathfrak{Y}}_{N} \varPi_{n}(Y, V), \] wo \({\mathfrak{Y}}_{1}, {\mathfrak{Y}}_{2}, \dots, {\mathfrak{Y}}_{N}\) die \(N\) Coefficienten der Form, \(p_1, p_2, \dots, p_{N}\) die zugehörigen Polynomialzahlen und \[ \varPi_{1} (Y, V), \quad \varPi_{2} (Y, V), \dots , \varPi_{N} (Y, V) \] die zugehörigen Producte der Veränderlichen \(Y_1, Y_2, Y_3\) und der contragredienten Veränderlichen \(V_1, V_2, V_3\) bedeuten. Zugleich mit dieser Form \(F\) wird die folgende dualistisch gegenüberstehende und ohne Polynomialcoefficienten geschriebene Form \[ \varPhi = {\mathfrak{V}}_{1} \varPi_{1} (V, Y) + {\mathfrak{V}}_{2} \varPi_{2} (V, Y) + \cdots + {\mathfrak{V}}_{N} \varPi_{N}(V, Y) \] betrachtet; es gilt dann unter anderem der Satz: Wenn \({\mathfrak{F}}\) eine Function der Coefficienten \({\mathfrak{Y}}\) ist, so verhalten sich die partiellen Differentialquotienten \(\frac{\partial {\mathfrak{F}}}{\partial {\mathfrak{Y}}}\) gegenüber linearen Transformationen ebenso wie die entsprechenden Coefficienten \({\mathfrak{V}}\) der Form \(\varPhi\). Diese Betrachtungen führen auf den “Evectantenprocess”. Die erste Evectante der Function \({\mathfrak{F}}\) wird definirt durch den Ausdruck \[ {\mathfrak{F}}^{(1)} = \frac{\partial {\mathfrak{F}}}{\partial {\mathfrak{Y}}_{1}}\;\varPi_{1} (V, Y) + \cdots + \frac{\partial {\mathfrak{F}}}{\partial {\mathfrak{Y}}_{N}} \varPi_{N} (V, Y). \] Eine nochmalige Anwendung dieses Processes führt auf die zweite Evectante u. s. f. (\(\S\) 1). Die Aufgabe, alle Invarianten beliebiger Grundformen zu finden, wird auf die einfachere Frage nach den Invarianten linearer Grundformen zurückgeführt (erster Fundamentalsatz der symbolischen Methode). Es folgt die Behandlung des Aronhold’schen Processes und der Beweis, dass demselben die Invarianteneigenschaft zukommt. Der Evectantenprocess stellt sich als ein besonderer Fall des Arohold’schen Processes dar und besitzt daher ebenfalls die Invarianteneigenschaft. Es wird gezeigt, wie man überhaupt aus jeder analytischen Invariante Differentiationsprocesse mit Invarianteneigenschaft ableiten kann. Insbesondere besitzen die folgenden drei symbolisch geschriebenen Differentiationsprocesse: \[ \left| \begin{matrix} \frac{\partial}{\partial X_1} & \frac{\partial}{\partial X_2} & \frac{\partial}{\partial X_3}\\ \frac{\partial}{\partial Y_1} & \frac{\partial}{\partial Y_2} & \frac{\partial}{\partial Y_3}\\ \frac{\partial}{\partial Z_1} & \frac{\partial}{\partial Z_2} & \frac{\partial}{\partial Z_3}\end{matrix} \right| \quad \left| \begin{matrix} \frac{\partial}{\partial U_1}\; \frac{\partial}{\partial U_2}\; \frac{\partial}{\partial U_3}\\ \frac{\partial}{\partial V_1} \; \frac{\partial}{\partial V_2}\; \frac{\partial}{\partial V_3}\\ \frac{\partial}{\partial W_1}\; \frac{\partial}{\partial W_2}\; \frac{\partial}{\partial W_3}\end{matrix} \right| \] \[ \frac{\partial^{2}}{\partial X_1 \partial U_1} + \frac{\partial^{2}}{\partial X_2 \partial U_2} + \frac{\partial^{2}}{\partial X_3 \partial U_3} \] die Invarianteneigenschaft (\(\S\) 2). Es werden die Begriffe “conjugirt”, “Polare”, “apolar” erklärt. Wenn für eine Form \[ F = (BX)^{m} (UP)^{n} \] die Polare in Bezug auf die identische Covariante \((UX)\) identisch verschwindet, d. h. wenn \[ (BP)\; (BX)^{m - 1} (UP)^{n - 1} = 0 \] wird, so heisst \(F\) eine “Normalform”. Es wird die erste Gordan’sche Reihenentwickelung bewiesen, derzufolge jede Form \(F\) sich in eine nach Potenzen von \((UX)\) fortschreitende Reihe entwickeln lässt, so dass die Coefficienten Normalformen sind. Diese Coefficienten setzen sich aus gewissen “Elementarcovarianten” der Grundform zusammen, welche ihrerseits wiederum lineare Combinationen von Polaren und von Producten derselben mit Potenzen von \((UX)\) sind (\(\S\) 3). Während bisher angenommen wurde, dass \(F\) ausser den Veränderlichen \(X\) nur noch eine contragrediente Veränderlichenreihe \(U\) enthält, so behandelt die Theorie der sogenannten zweiten Gordan’schen Reihenentwickelung den Fall zweier cogredienten Variabelnreihen. Es werden die Eigenschaften und Gesetze dieser Reihenentwickelung ausführlich erörtert (\(\S\) 4). Auf Grund dieser Reihenentwickelung gelingt der Beweis des “zweiten Fundamentalsatzes der symbolischen Methode”, wonach jede ganze rationale Invariante von linearen Formen \((PV), (QV), \dots, (AY), (BY), \dots\) eine ganze rationale Function der Invarianten \((PQR), (AP), (ABC), \dots\) ist (\(\S\) 5). Nunmehr wird der oben in diesem Referate erwähnte, auf das binäre Formengebiet bezügliche Gordan’sche Satz von den symbolischen Identitäten auf das ternäre Formengebiet übertragen. Die bezüglichen Resultate sind vom Verfasser bereits in einer früheren Note “Ueber ternäre lineare Formen”, Math. Ann. XXX. 120, entwickelt worden; vgl. F. d. M. XIX. 1887. 129, JFM 19.0129.01, (\(\S\) 6). Die Reihenentwickelungen werden auf Formen mit beliebig vielen Veränderlichen ausgedehnt (\(\S\) 7), sowie auf solche besonderen sogenannten “verkürzten” Formen, deren Coefficienten nicht mehr unabhängig, sondern zum Teil dadurch aneinander gebunden sind, dass gewisse vorgelegte (in den Coefficienten der Grundform) lineare Covarianten identisch Null sind (\(\S\) 8). Mit Hülfe der Betrachtungen in den beiden letzten Paragraphen wird gezeigt, wie durch eine endliche Anzahl ausführbarer Operationen die Aufgabe erledigt werden kann, in einem System beliebiger Grundformen ein vollständiges System von linear unabhängigen Invarianten mit gegebenen Gradzahlen anzugeben. Zugleich werden die Anzahlen der linear unabhängigen Constanten berechnet (\(\S\) 9). Eine Gleichung \(\varPi = 0\) wird eine “invariante Gleichung” genannt, wenn die Function \(\varPi\) ihren Wert Null auch dann noch beibehält, wenn man auf die algebraischen Formen, deren Coefficienten die Argumente von \(\varPi\) bilden, eine beliebige lineare Transformation ausführt und nun dieselbe Function aus den Coefficienten der transformirten Formen bildet. Entsprechend wird ein “invariantes Gleichungssystem” \(\varPi_{1} = 0, \varPi_{2} = 0, \dots\) definirt. Der Verfasser beweist den wichtigen Satz, dass ein solches Gleichungssystem auch dargestellt werden kann durch das Nullsetzen einer oder mehrerer Covarianten, welche Normalformen sind. Hieran schliessen sich Untersuchungen über die Anzahl der algebraisch unabhängigen Invarianten (\(\S\) 10). Die Gesamtheit aller Normalformen der nämlichen Ordnung \(m\) und Klasse \(n\) bildet ein lineares System mit \[ N = \tfrac 12 (m + 1)\; (n + 1)(m + n + 2) \] homogen auftretenden Parametern. Deutet man die linear unabhängigen Constanten der Normalformen als homogene Coordinaten in einem Raume \(R\) von \(N - 1\) Dimensionen, so entspricht offenbar jeder linearen Transformation der Ebene eine bestimmte lineare Transformation des Raumes \(R\) (\(\S\) 11). Von diesem Gesichtspunkte aus gelangt der Verfasser auch zu einer geometrischen Deutung der oben behandelten Reihenentwickelungen. Zugleich führt er eine neue linear auftretende und dem Raume \(R\) entsprechende Veränderlichenreihe \({\mathfrak{U}}\) ein und schreibt symbolisch: \[ {\mathfrak{M}} = \{ {\mathfrak{UM}}\} (BX)^{m} (UP)^{n}, \] wobei erst je ein Symbol \({\mathfrak{M}}\), mit \(m\) Symbolen \(B\) und \(n\) Symbolen \(P\) multiplicirt, eine wirkliche Bedeutung erlangt. Auf diese symbolische Darstellungsweise der Grundformen gründet der Verfasser die Theorie der Combinanten (\(\S\) 13). Um zu einer invarianten Darstellung der linearen Transformation selbst zu gelangen, benutzt er die Thatsache, dass eine jede collineare oder dualistische Transformation durch eine bilineare Form dargestellt werden kann, und zwar stellt die bilineare Form \[ T = (DX)\; (V\varDelta), \] gleich Null gesetzt, 2 Transformationen dar, jenachdem man die Veränderliche \(X\) oder die Veränderliche \(V\) als gegeben betrachtet; zur Unterscheidung beider spricht der Verfasser von der “Punkttransformation \(T\)” und der “Linientransformation \(T\)”. Die zur Punkttransformation \(T\) gehörige Transformation \(T\) der Linien wird dargestellt durch die bilineare Form \[ T = (UE)(HY) = \tfrac 12 (DD' U)\; (\varDelta \varDelta' Y); \] zwischen beiden bilinearen Formen bestehen die Identitäten \[ (DX)\; (H\varDelta)(UE) - (UX) J = 0, \] \[ (HY)\; (DE)(V \varDelta) - (VY) J = 0, \] wo \[ J = \tfrac 16 (DD' D'')\; (\varDelta \varDelta' \varDelta'') \] die Discriminante der Transformation \(T\) genannt wird. Die aus zwei Transformationen \[ T_{1} = (D_1 X)\; (U\varDelta_{1}), \quad T_{2} = (D_2 X)\; (U \varDelta_{2}) \] zusammengesetzten Transformationen, die sogenannten Producte jener Transformationen, werden symbolisch dargestellt durch die bilinearen Formen \[ T_{1} T_{2} = (D_{1} X)\; (D_{2} \varDelta_{1})\; (U \varDelta_{2}), \] \[ T_{2} T_{1} = (D_{2} X)(D_{1} \varDelta_{2})(U \varDelta_{1}). \] Es gilt die Identität \[ (T_{1} (T_{2} T_{3})) + (T_{2} (T_{3} T_{1})) + (T_{3} (T_{1} T_{2})) = 0, \] wo allgemein \[ (T_{i} T_{k}) = - (T_{k} T_{i}) = T_{i} T_{k} - T_{k} T_{i} \] gesetzt ist (\(\S\) 14). Denken wir uns die Mannigfaltigkeit der Formen \(T\) dargestellt durch die Punkte eines Raumes \(R\) von acht Dimensionen, so wird dieser Raum durch eine achtgliedrige Gruppe transformirt. Jeder Transformation \(T\) entspricht ein Punkt dieses Raumes \(R\); insbesondere entspricht der identischen Transformation \((UX)\) ein bestimmter Punkt, der Einheitspunkt, welcher bei allen Transformationen der achtgliedrigen Gruppe stehen bleibt. Ebenso bleibt noch diejenige lineare siebenfach ausgedehnte Mannigfaltigkeit jenen Transformationen gegenüber ungeändert, welche alle Punkte \(T\) von verschwindender Invariante \((D\varDelta)\) enthält. Jeder infinitesimalen Transformation entspricht im Raume \(R\) eine Gerade, welche durch den Einheitspunkt geht. Denkt man sich diese Gerade durch ihren Schnittpunkt mit \((D\varDelta) = 0\) bestimmt, so ist derselben dadurch eine bestimmte endliche lineare Transformation mit verschwindender linearer Invariante eindeutig-umkehrbar zugeordnet. Die bilineare Normalform \(S = (DX)(U\varDelta)\) wird als Symbol der infinitesimalen linearen Transformation eingeführt und dann der Zusammenhang mit den Begriffen der Lie’schen Theorie der Transformationsgruppen und dem dort gebrauchten Symbol \(Xf\) dargelegt (\(\S\) 15). Es wird leicht erkannt, dass die Invarianten algebraischer Formen homogene Invarianten gewisser projectiver Transformationsgruppen sind, und der Verfasser zeigt zugleich, wie die infinitesimalen und endlichen Transformationen jener Gruppe und ihr ganzer Zusammenhang mit der allgemeinen projectiven Gruppe der Ebene durch explicite Formeln dargestellt werden kann (\(\S\) 16 und \(\S\) 17). Aus den infinitesimalen Transformationen, welche eine Invariante gestattet, ergeben sich sofort die partiellen Differentialgleichungen derselben (\(\S\) 18). Hieran schliesst sich eine Untersuchung über das Clebsch’sche, zwischen der Theorie der binären und derjenigen der ternären Forme vermittelnde Uebertragungsprincip (\(\S\) 19) und über Formen mit mehreren Reihen von Veränderlichen, welche verschiedenen von einander unabhängigen linearen Transformationen unterworfen werden (\(\S\) 20). Ein Anhang handelt von den linearen Transformationen und Differentialgleichungen im binären Gebiete, wo die Untersuchung sich noch etwas weiter durchführen lässt als im ternären Gebiete. Die Anmerkungen und Litteraturnachweise sind an den Schluss des Buches gesetzt.

Full Text: EuDML