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On the theory of Riemann functions of the second order with four branch points. (Zur Theorie der Riemann’schen Functionen zweiter Ordnung mit vier Verzweigungspunkten.) (German) JFM 20.0419.02
Die Functionen, welche der Verfasser in der vorliegenden Abhandlung untersucht, sind Verallgemeinerungen der Riemann’schen \(P\)-Functionen. Ebenso wie die letzteren durch die Gauss’sche hypergeometrische Reihe, so lassen sich die vom Verfasser betrachteten Functionen durch eine einzige Reihe ausdrücken, welche von fünf Parametern \(a,q,\alpha,\beta,\gamma,\delta\) abhängt und für \(a=q=1\) in die hypergeometrische Reihe übergeht. Die in Rede stehende Reihe, welche der Verfasser mit \[ y=F(a,q;\alpha,\beta,\gamma,\delta;x) \] bezeichnet, ist Lösung der Differentialgleichung \[ x(x-1)(x-a)\cdot y''+(bx^2-cx+d)y'+\alpha\beta(x-q)\cdot y=0, \] wo zur Abkürzung \[ b=\alpha+\beta+1,\quad c=\alpha+\beta+a\gamma+(a-1)\delta+1,\quad d=a\gamma \] gesetzt ist. Diese Gleichung geht für \(a=q+1\) in die hypergeometrische Differentialgleichung über. Die vier Verzweigungspunkte der Function \(y\) sind die Punkte \[ \xi_1=0,\;\xi_2=1,\;\xi_3=a,\;\xi_4=\infty; \] dieselben können durch lineare Transformation von \(x\) in vier beliebige Punkte mit dem Doppelverhältnis \(a\) übergeführt werden. Insbesondere giebt es 24 Transformationen, bei welchen dreien der Verzweigungspunkte die Werte \(0,1,\infty\) zufallen. Diese Bemerkung ergiebt eine Reihe von Transformationsformeln, welche der Verfasser tabellarisch zusammenstellt. Demnächst untersucht er die Convergenz der Reihe \(F(a,q;\alpha,\beta,\gamma,\delta;x)\). Durch sehr einfache Betrachtungen gelangt er nicht nur zur Kenntnis des Convergenzkreises, sondern auch des Verhaltens der Reihe auf der Peripherie dieses Kreises. Schliesslich behandelt der Verfasser die Frage, in wie weit sich die Gauss’schen “Relationes inter functiones contiguas” auf die von ihm betrachteten Functionen ausdehnen lassen. Von den dabei gewonnenen Resultaten möge hier, als ein Beispiel, dass folgende Platz finden: “Soll sich die Function \(F(a,q';\alpha',\beta',\gamma', \delta';x)\) durch die Function \(F(a,q;\alpha,\beta,\gamma,\delta;x)\) und deren erste Derivirte rational ausdrücken lassen, so genügt es nicht, dass die Differenzen \[ \alpha'-\alpha,\;\beta'-\beta,\;\gamma'-\gamma,\;\delta'-\delta \] ganze Zahlen sind, sondern die charakteristischen Parameter \(q\) und \(q'\) müssen bestimmte Functionen von \(a,\alpha,\beta,\gamma,\delta\) sein.”

MSC:
33C99 Hypergeometric functions
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References:
[1] Man vergl. meine Abhandlung ?Zur Theorie der mehrwerthigen, mehrfach linear verknüpften Functionen? in den Act. Mathem. t. XI, pag. 105.
[2] Man vergl. etwa die Figuren bei Klein, Math. Ann. Bd. XIV, pag. 115.
[3] Die Formulirung des obigen Satzes verdanke ich der Güte des Herrn H. Burkhardt.
[4] Nachträglich bin ich auf die Abhandlung des Herrn Thomé ?Ueber Convergenz und Divergenz der Potenzreihen auf dem Convergenzkreise?, im 100. Bd. desJournal f. Mathem. aufmerksam geworden. Da jedoch die Zurückführung der Convergenzbetrachtungen der Integrale regulärer linearer Differentialgleichungen auf das von Herrn Weiergtrass verallgemeinerte Gauss’sche Criterium einen wesentlich elementareren Charakter hat, als die von Herrn Thomé benutzten Hülfsmittel, so behalte ich die folgende Darstellung bei und bemerke noch, dass dieselbe von der besonderen Annahmep=2,i=2 unabhängig ist.
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