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Delle derivazioni covarianti e controvarianti e del loro uso nella analisi applicata. (Italian) JFM 20.0282.01
Aus dem III. Bde. der Studi editi dalla Università di Padova a commemorare l’ottavo centenario della origine della Università di Bologna. 3. Vol. Padova. Tipografia del Seminario. 23 S. \(4^\circ\) (1888).
Die Definition der covarianten Ableitung wurde vom Verfasser in einer früheren Arbeit (Sulla derivazione covariante ad una forma quadratica differenziale, Rom. Acc. L. Rend. (4) \(\text{III}_1\). 15-18) aufgestellt, über welche im vorigen Jahrgange S. 128 berichtet wurde. Ist: \[ \varphi^2=\sum_{r,s}a_{rs}dx_r\,dx_s \] eine quadratische Differentialform mit \(n\) Variabeln \(x_1,\dots,x_n\), \(|a^{(pq)}|\) die reciproke Determinante von \(|a_{pq}|\), setzt man: \[ \tfrac12\left\{\frac{\partial a_{ri}}{\partial x_s}+\frac{\partial a_{si}}{\partial x_r}-\frac{\partial a_{rs}}{\partial x_i}\right\}=a_{rs,i}, \] und bezeichnet \[ [U_{r_1\dots r_m}]\qquad (r_1=1,\dots,n;\dots;r_m=1,\dots,n) \] ein \(m\)-faches Functionensystem, d. i. ein System von \(n^m\) Functionen, \(U_{r_1\dots r_m}\), welche infolge jeder beliebigen Coordinatentransformation eine lineare Substitution erleiden, so ist die “zur Form \(\varphi^2\) covariante Derivation” diejenige Operation, welche \([U_{r_1\dots r_m}]\) in \([U_{r_1\dots r_{m+1}}]\) überführt, wo: \[ U_{r_1\dots r_{m+1}}=\frac{\partial U_{r_1\dots r_m}}{\partial x_{m+1}}-\sum_{p,q}a^{(pq)}\sum_{h=1}^m a_{r_hr_{m+1},p}U_{r_1\dots r_{h-1}qr_{h+1\dots m}}. \] Ist \([U^{(r_1\dots r_m)}]\) ein System von derselben Beschaffenheit wie \([U_{r_1\dots r_m}]\), so führt die “zu \(\varphi\) contravariante Derivation” \([U^{(r_1\dots r_m)}]\) in \([U^{(r_1\dots r_{m+1})}]\) über, wo: \[ U^{(r_1\dots r_{m-1})} =\sum_s a^{(r_{m+1}s)}\left\{\frac{\partial U^{(r_1\dots r_m)}}{\partial x_s}+\sum_{pq} a_{qs,p}\sum_{h=1}^ma^{(r_hp)}U ^{r_1\dots r_{h-1}qr_{h+1}\dots m)}\right\}. \] Werden die Variabeln \(x_i\) durch die Variabeln \(\varrho_i\) ersetzt, und schliesst man die auf die neuen Variabeln bezüglichen Ausdrücke in (runde) Klammern ein, so dass z. B.: \[ \varphi^2=\sum_{p,q}(a_{pq})d\varrho_pd\varrho_q \] ist, so heisst \([U_{r_1\dots r_m}]\) oder \([U^{(r_1\dots r_m)}]\) ein covariantes oder contravariantes \(m\)-faches System, je nachdem für dasselbe die Transformationsgleichungen: \[ (U_{r_1\dots r_m})\sum_{h_1,\dots, h_m}U_{h_1\dots h_m}\frac{\partial x_{h_1}}{\partial\varrho_{r_1}}\cdots\frac{\partial x_{h_m}}{\partial \varrho_{r_m}}, \] oder: \[ (U^{(r_1\dots r_m)})=\sum_{h_1\dots h_m}U^{(h_1\dots h_m)}\;\frac{\partial x_{r_1}}{\partial\varrho_{h_1}}\cdots\frac{\partial x_{r_m}}{\partial\varrho_ {h_m}} \] gelten. Z. B. ist \([a_{pq}]\) ein covariantes zweifaches System, weil: \[ (a_{qp})=\sum_{r,s}\;a_{rs}\;\frac{\partial x_r}{\partial\varrho_p}\;\frac{\partial x_s}{\partial\varrho_q}, \] dagegen ist \([a^{(pq)}]\) ein contravariantes zweifaches System, weil: \[ (a^{(pq)})=\sum_{r,s}\;a^{(rs)}\;\frac{\partial x_p}{\partial\varrho_r}\;\frac{\partial x_q}{\partial\varrho_s}. \] Es gilt nun der Satz: Aus einem co(contra)varianten \(m\)-fachen Systeme entsteht durch co(contra)variante Derivation ein co(contra)variantes \((m+1)\)-faches System.
Der Uebergang von einem covarianten \(m\)-fachen Systeme \([U_{r_1\dots r_m}]\) zu einem contravarianten \(m\)-fachen Systeme \([U^{(q_1\dots q_m)}]\) und umgekehrt kann durch folgende Gleichungen bewerkstelligt werden: \[ \begin{aligned} & U^{(q_1\dots q_m)}=\sum_{r_1,\dots,r_m}a^{(r_1q_1)}\dots a^{(r_mq_m)}U_{r_1\dots r_m},\\ & U_{r_1\dots r_m}=\sum_{q_1\dots q_m}\;a_{r_1q_1}\dots a_{r_mq_m}\;U^{(q_1\dots q_m)}.\end{aligned} \] Die co(contra)variante Derivation ist distributiv. Dagegen ist sie in Bezug auf die Indices nicht commutativ; man findet nämlich: \[ U_{r_1\dots r_{m-2}r_{m-1}r_m}-U_{r_1\dots r_{m-2}r_mr_{m-1}} =\sum_{p,q}\;a^{(pq)}\sum_{h=1}^{m-2}a_{pr_h,r_{m-1}r_m}U_{r_1\dots r_{h-1}qr_{h+1}\dots r_{m-2}}, \]
\[ U^{(r_1\dots r_{m-2}r_{m-1}r_m)}-U^{(r_1\dots r_{m-2}r_mr_{m-1})} =\sum_{p,q,s,t}a^{(r_ms)}a^{(r_{m-1}t)}\sum_{h=1}^{m-2}a^{(r_hp)}a_{pq,st} U^{(r_1\dots r_{h-1}qr_{h+1}\dots r_{m-2})}, \] wo: \[ a_{ih,gk}=\frac{\partial a_{ig,h}}{\partial x_k}-\frac{\partial a_{ik,h}}{\partial x_y}+\sum_{r,s}\;(a_{ik,r}a_{hg,s}-a_{ig,r}a_{hk,s}). \] Die Commutativität findet nur in zwei Fällen statt; erstens, wenn \(m=2\), weil jedes Glied an der rechten Seite der obigen Gleichungen eine Summe \(\sum_{h=1}^{m-2}\) als Factor enthält; zweitens, wenn der \(n\)-dimensionale Raum, dessen Linienelement \(\varphi\) ist, ein euklidischer ist, weil dann sämtliche \(a_{ih,gk}\) identisch verschwinden. Im allgemeinen besteht die Commutativität nur zwischen den zwei ersten Indices; d. h. es ist: \[ U_{r_1r_2r_3\dots r_m}=U_{r_2r_1r_3\dots r_m},\qquad U^{(r_1r_2r_3\dots r_m)} =U^{(r_2r_1r_3\dots r_m)}. \] Eine weitere Eigenschaft der co(contra)varianten Ableitungen ist folgende: Bestehen die Relationen: \[ U_{r_1\dots r_m}=U_{r_1\dots r_i}U_{r_{i+1}\dots r_m}, \] oder: \[ U^{(r_1\dots r_m)}=U^{(r_1\dots r_i)}U^{(r_{i+1}\dots r_m)}, \] so folgt hieraus: \[ U_{r_1\dots r_mr_{m+1}}=U_{r_1\dots r_i}U_{r_{i+1}\dots r_mr_{m+1}}+ U_{r_{i+1}\dots r_m}U_{r_1\dots r_ir_{m+1}}, \] bezw.: \[ U^{(r_1\dots r_mr_{m+1})}=U^{(r_1\dots r_i)}U^{(r_{i+1}\dots r_mr_{m+1})} +U^{(r_{i+1}\dots r_m)}U^{(r_1\dots r_ir_{m+1})}. \] Nachdem der Verfasser die Principien seiner Theorie auseinandergesetzt hat, wendet er dieselbe auf folgende Gegenstände an: a) Gleichungen der Krümmungslinien; b) Gleichungen der conjugirten und der asymptotischen Linien; c) Bedingungsgleichungen für die Coefficienten der Deformation eines elastischen Körpers; d) Formeln aus der Kinematik der elastischen Körper; e) Elasticitätsgleichungen im euklidischen Raume; f) Gleichung der Bewegung der Wärme im euklidischen Raume.
Eigentlich werden statt der Gleichungen c), d) allgemeine, in einem beliebigen \(n\)-dimensionalen Raume geltende Gleichungen aufgestellt, welche sich für den gewöhnlichen Raum auf c) bezw. d) reduciren. Die Gleichungen c) sind gleichzeitig von Herrn Padova (Sull’ uso delle coordinate curvilinee in alcuni problemi della teoria matematica della elasticità; Bericht in diesem Bande (JFM 20.1058.02) für den Fall eines 3-dimensionalen Raumes von constantem Krümmungsmasse, später aber von demselben (Sulle deformazioni infinitesime, Rom. Acc. L. Rend. (4) V\({}_1\). 174-8) für den allgemeinsten Fall gefunden worden. Es ist noch zu bemerken, dass die Gleichungen 21, 22 und 23 S. 18 durch die folgenden zu ersetzen sind: \[ \begin{aligned} G_{hi,jl}-G_{jl,hi}=0,\\ & G_{hi,jl}+G_{hj,li}+G_{hl,ij}=0,\\ & a_{ih,ljk}=0,\end{aligned} \] wonach die Anzahl der von einander unabhängigen Gleichungen \(E\) sich in jedem Falle zu \(\frac{n^2(n^2-1)}{12}\) reducirt. (Siehe die zuletzt erwähnte Note von Padova, S. 176 Anm.)