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Über die Darstellung definiter Formen als Summe von Formenquadraten. (German) JFM 20.0198.02
Eine Form gerader Ordnung \(n\) mit reellen Coefficienten und \(n\) homogenen Variabeln heisse allgemein “definirt”, wenn dieselbe für jedes reelle Wertsystem der \(m\) Variabeln einen positiven Wert annimmt und überdies eine von Null verschiedene Discriminante besitzt. Eine Form mit reellen Coefficienten wird eine “reelle” Form genannt.
Den bisher bekannten Darstellungen solcher Formen als Summen von Formenquadraten, nämlich I. \(n=2\), \(m\) beliebig, II. \(n\) beliebig, \(m=2\), fügt der Verfasser einen weiteren Fall. III. \(n=4\), \(m=3\) hinzu, insofern jede definite biquadratische ternäre Form (und zwar noch auf dreifach unendlich viele Arten) sich als Summe von drei Quadraten reeller quadratischer Formen darstellen lässt.
Weiterhin aber wird das merkwürdige, bereits von Hrn. Minkowski vermutete Ergebnis aufgedeckt, daß in allen sonstigen Fällen stets Formen existiren, welche sich nicht als endliche Summen von Quadraten reeller Formen darstellen lassen. Das Beweisprincip wird zuerst am Beispiel der ternären Formen sechster Ordnung dargelegt.
Es werden zuvörderst solche Formen construirt, welche in acht Punkten verschwinden, dagegen für alle anderen reellen Wertsysteme der Variabeln von Null verschieden und positiv ausfallen; sodann solche, welche sich nicht als Summen von 28 oder weniger Quadraten reeller Formen darstellen lassen, und mit Hülfe dieser endlich solche, welche sich überhaupt nicht als endliche Summen von Quadraten reeller Formen darstellen lassen.
Analog bei höheren Formen.

MSC:
11E10 Forms over real fields
12D15 Fields related with sums of squares (formally real fields, Pythagorean fields, etc.)
11E76 Forms of degree higher than two
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