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Ueber die Methode des arithmetischen Mittels. Erste Abhandlung. (German) JFM 19.1029.01
Leipz. Abh. XIII. 707-820 (1887).
In der Ebene sei eine geschlossene Curve \(\sigma\) gegeben, die sich selber nirgends durchschneidet, übrigens aber beliebig viele Eckpunkte besitzen mag. Ebenso wie bei einem Polygon, ebenso kann man auch bei der Curve von den Innenwinkeln sprechen. Ist \(s\) ein beliebiger Punkt der Curve \(\sigma\) und \(\tau_s\) ihr Innenwinkel beim Punkte \(s\), so wird offenbar \(\tau_s\) stets gleich \(\pi\) sein, ausser wenn \(s\) ein Eckpunkt der Curve ist. Setzt man also \[ (\alpha)\quad \tau_s=\pi(1- \vartheta_s), \] so wird \(\vartheta_s\), stets gleich 0 sein, ausser wenn \(s\) ein Eckpunkt ist.
Es sei nun auf der Curve \(\sigma\) irgend eine Function \(f\) in bestimmter Weise vorgeschrieben, welche längs \(\sigma\) stetig ist. Ferner bezeichne \(p\) einen beliebigen Punkt in eben derselben Ebene, in welcher \(\sigma\) liegt. Man zerlege \(\sigma\) in unendlich kleine Elemente \(d \sigma\) und bezeichne die scheinbare Grösse eines solchen Elementes \(d \sigma\) für einen in \(p\) befindlichen Beobachter mit \(\pm(d \sigma)_p\), und zwar mit \(+(d \sigma)_p\) oder \(-(d \sigma)_p\), jenachdem jener Beobachter die innere oder äussere Seite des Elementes \(d \sigma\) vor Augen hat. Das so definirte \((d \sigma)_p\) multiplicire man mit dem in da vorhandenen Functionswert \(f\) und bilde das über die ganze Curve \(\sigma\) sich ausdehnende Integral \[ (\beta)\quad \int f(d \sigma)_p \] sowie auch das aus diesem für \(f = 1\) hervorgehende einfachere Integral \[ (\gamma)\quad \int (d \sigma)_p. \] Für den speciellen Fall, dass \(p\) unmittelbar auf \(\sigma\) liegt, sollen übrigens unter den Ausdrücken \((\beta)\), \((\gamma)\) die Grenzwerte der betreffenden Integrale verstanden werden. Denkt man sich nämlich, was diesen speciellen Fall betrifft, die Integrale zunächst gebildet mit Ausschluss eines sehr kleinen den Punkt \(p\) enthaltenden Curvenstücks, so sollen unter den Ausdrücken \((\beta)\) und \((\gamma)\) diejenigen Werte verstanden werden, gegen welche diese Integrale convergiren, sobald man das genannte Curvenstück ins Unendliche sich verkleinern lässt. – Solches festgesetzt, überzeugt man sich sofort von der Richtigkeit folgender drei Elementarsätze:
I. – Es ist \[ \int (d \sigma)_p= 0 \quad \text{oder}\quad =2\pi, \] jenachdem \(p\) ausserhalb oder innerhalb \(\sigma\) sich befindet. Liegt aber \(p\) unmittelbar auf \(\sigma\), etwa in \(s\), so gilt die Formel: \[ \int (d \sigma)_s= \pi \tau_s=\pi(1-\vartheta_s), \] wo \(\tau_s\) und \(\vartheta_s\) die in \((\alpha)\) genannten Bedeutungen haben.
II. – Setzt man \[ \int d \sigma= \varSigma, \] so besitzt das so definirte \(\varSigma\) einen bestimmten endlichen Wert. Dieser Wert heisst der Umfang der Curve.
III. – Setzt man \[ \int abs.(d \sigma)_p=\varOmega_p, \] so wird die so definirte positive Function \(\varOmega_p\) in der ganzen Ebene überall endlich sein, derart dass sie stets \(<M\) bleibt, wo \(M\) eine angebbare endliche Constante vorstellt.
Dass diese zum Teil aus der geometrischen Anschauung herstammenden Elementarsätze I, II, III auch noch gültig seien für ganz nebelhaft vorschwebende Curven, z. B. für Curven, die mit unendlich vielen Ecken behaftet sind, – wird niemand behaupten wollen. Sie bilden aber das Fundament der vorliegenden Abhandlung. Und der Verfasser hebt besonders hervor, dass seine Untersuchungen Gültigkeit besitzen für alle diejenigen Curven, für welche diese drei Elementarsätze gelten. (Vgl. die Bemerkung, Seite 738).
Bezeichnet man von den beiden Gebieten, in welche die unendliche Ebene durch die Curve \(\sigma\) zerlegt wird, das äussere mit \(\mathfrak A\), und das innere mit \(\mathfrak I\), so wird man sich eine Function \(\varPsi=\varPsi(x, y)\) vorstellen können, die folgenden beiden Bedingungen entspricht: Erstens soll \(\varPsi\) auf \(\mathfrak I\), inclusive \(\sigma\), eindeutig und stetig sein. Zweitens sollen auf \(\mathfrak I\), exclusive \(\sigma\), die ersten und zweiten Ableitungen von \(\varPsi\) nach \(x\), \(y\) stetig, und \(\varDelta \varPsi = 0\) sein. Jede Function \(\varPsi\), die diesen beiden Bedingungen entspricht, nennt der Verfasser eine Fundamentalfunction des Gebietes \(\mathfrak I\). In ähnlicher, aber etwas complicirterer Art definirt der Verfasser die Fundamentalfunctionen des Gebietes \(\mathfrak A\) (Seite 725); worauf hier nicht näher eingegangen werden soll.
Diese Definitionen vorangeschickt, gelangt nun der Verfasser nach mannigfaltigen Betrachtungen zu einem Satz, der gewöhnlich aus dem Dirichlet’schen Princip hergeleitet wird, der aber in der vorliegenden Abhandlung unter Vermeidung dieses Princips in vollkommen strenger Art bewiesen wird. Dieser Satz lautet folgendermassen (Seite 792; über “zweisternig” vgl. Seite 715):
Setzt man voraus, dass die gegebene Curve \(\sigma\) überall convex, und dass sie weder ein geradliniges Dreieck noch auch ein geradliniges Viereck sei, so wird stets eine Fundamentalfunction \(\varPsi\) des Gebietes \(\mathfrak I\) existiren, welche auf \(\sigma\) die daselbst vorgeschriebenen Werte \(f\) besitzt. Auch wird nur eine solche Function \(\varPsi\) existiren. – Zugleich zeigt der Verfasser, dass man diese Function \(\varPsi\) wirklich zu construiren im Stande ist, und giebt hierzu folgende Vorschrift:
Von den vorgeschriebenen Werten \(f\) ausgehend, bilde man den Ausdruck \(\int f(d \sigma)_s\) für irgend einen auf \(\sigma\) gelegenen Punkt \(s\) und definire sodann eine neue Function \(f'\) mittels der Formel: \[ f_s'=\vartheta_sf_s+\frac 1\pi \int f(d \sigma)_s, \] wo \(\vartheta_s\) die in \((\alpha)\) angegebene Bedeutung haben soll. Ueberdies sollen \(f_s\) und \(f_s'\) die Werte der Functionen \(f\) und \(f'\) im Punkte \(s\) vorstellen. Sodann construire man weitere Functionen \(f''\), \(f'''\), etc. etc., und zwar derart, dass in der ganzen Reihe \[ f,f',f'',f''',\dots,f^{(n)},\dots \] jedwede Function aus der vorhergehenden genau in derselben Weise entsteht, wie \(f'\) aus \(f\). Diese Functionenreihe hat, wie der Verfasser zeigt, die Eigenschaft, dass \(\lim_{n=\infty} f^{(n)}\) eine Function repräsentirt, die längs der ganzen Curve \(\sigma\) überall einen und denselben Wert hat; so dass man also schreiben kann \[ \lim_{n=\infty} f^{(n)}=C, \] wo \(C\) eine Constante vorstellt.
Bildet man jetzt für einen beliebigen Punkt \(p\) die Integrale \[ W_p=\frac 1\pi \int f(d \sigma)_p, \quad W_p'=\frac 1\pi \int f'(d \sigma)_p, \] \[ W_p''=\frac 1\pi \int f''(d \sigma)_p,\quad \text{etc.,} \] und setzt: \[ \varPsi_p=C+(W_p-W_p')+(W_p''-W_p''')+\cdots, \] so wird diese Reihe, so lange \(p\) innerhalb \(\mathfrak I\) bleibt, stets convergent sein. Und gleichzeitig wird alsdann die durch diese Reihe definirte Function \(\varPsi_p\) jene zu construirende Fundamentalfunction des Gebietes \(\mathfrak I\) sein, welche auf \(\sigma\) identisch ist mit der daselbst vorgeschriebenen Function \(f\).
Zur Vereinfachung der Ausdrucksweise erscheint es angemessen, eine Fundamentalfunction des Gebietes \(\mathfrak I\), welche am Rande von \(\mathfrak I\), d. i. auf \(\sigma\), mit einer daselbst vorgeschriebenen Function \(f\) identisch ist, kurzweg als die dieser Function \(f\) entsprechende Fundamentalfunction zu bezeichnen. Alsdann kann das Theorem, zu welchem der Verfasser, nach Aufstellung einiger Hülfssätze über die Kreislinie, am Schluss seiner Abhandlung (Seite 818) gelangt, folgendermassen ausgesprochen werden:
Die geschlossene Curve \(\sigma\) sei nach wie vor derart, dass für sie die Elementarsätze I, II, III gelten, sonst aber ganz beliebig gegeben, so dass sie also z. B. teils convex, teils concav sein darf. Ferner sei auf \(\sigma\) eine daselbst stetige Function \(f\) vorgeschrieben. Ueberdies sei (durch irgend welche Methode, vielleicht auch durch Zufall) eine mit einem variablen Parameter \(q\) behaftete Function \(f^{(q)}\) gefunden, die ebenfalls und zwar für jedwedes \(q\) auf \(\sigma\) stetig ist, und die für \(q = \infty\) auf der ganzen Curve gleichmässig gegen \(f\) convergirt. Gelingt es alsdann, die dieser Function \(f^{(q)}\) entsprechende Fundamentalfunction \(\varPsi^{(q)}\) des Gebietes \(\mathfrak I\) zu construiren, so wird hiedurch zugleich auch die Existenz einer der Function \(f\) entsprechenden Fundamentalfunction \(\varPsi\) des Gebietes \(\mathfrak I\) ausser Zweifel gesetzt sein. Und zwar wird \(\varPsi\) nichts anderes sein, als der Convergenzwert von \(\varPsi^{(q)}\) für \(q = \infty\). Auch wird dieser Uebergang von \(\varPsi^{(q)}\) in \(\varPsi\) für \(q=\infty\) auf der ganzen Fläche \(\mathfrak I\) (inclusive \(\sigma\)) von gleichmässiger Convergenz sein.
Wir haben hier immer nur das Gebiet \(\mathfrak I\) betrachtet. Analoge Resultate aber enthält die vorliegende Abhandlung auch für das ausserhalb \(\sigma\) liegende und ringsum sich ins Unendliche erstreckende Gebiet \(\mathfrak A\).
Schliesslich sei bemerkt, dass die Untersuchungen des Verfassers nicht nur auf eine geschlossene Curve in der Ebene, sondern Schritt für Schritt in paralleler Weise auch auf eine im Raum gegebene geschlossene Fläche sich erstrecken.