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Lectures on the theory of reciprocants. (English) JFM 19.0090.02
Continuation. American J. IX. 113-161 (1887).
Die grundlegenden Principien der Sylvester’schen Reciprocantentheorie sind F. d. M. XVIII. 73 ff.(JFM 18.0073.03) ausführlich besprochen worden. In dieser Fortsetzung untersucht der Verf. den eigentümlichen Zusammenhang genauer, der zwischen den Reciprocanten und den binären Semiinvarianten (Quellen) besteht.
Die beiderseitige Anordnung nach der “Ausdehnung” d. i. der Anzahl der Buchstaben \(a, b, c, d, \dots\) lässt wohl manche Analogien hervortreten, es zeigen sich aber auch auffallende Verschiedenheiten. So z. B. weist eine binäre Grundform vierter Ordnung fünf Quellen auf, denen fünf; zum Grundsystem \(a, b, c, d, e\) gehörige, irreducible Reciprocanten von ähnlichem Aufbau correspondiren; zu diesen letzteren gesellt sich indessen eine sechste, die demnach kein Analogon im binären Invariantengebiet besitzt. In der That sind sich allgemein die beiderlei “Erzeugenden Functionen” wohl ähnlich, stimmen aber durchaus nicht ganz überein; vielmehr bieten die für Reciprocanten Sonderheiten dar, die noch zum Teil der Erklärung bedürftig sind.
Die Verschiedenheit zwischen Reciprocanten und Invarianten zeigt sich am deutlichsten bei einer Anordnung nach dem “Grade”; es wird der Satz bewiesen: “Die Anzahl der reinen Reciprocanten von einem gegebenen Grade ist eine endliche, dagegen die der Semiinvarianten vom nämlichen Grade eine endlose”. Es geschieht dies mit Hülfe der zahlentheoretischen Function \(N(w : i)\), d. i. der Anzahl von Möglichkeiten, die für die Teilung einer ganzen positiven Zahl \(w\) in \(i\) positive ganzzahlige Teile bestehen. Bedeutet nun \(i\) den Grad, \(w\) das Gewicht, und bildet man für \(w = 1, 2, 3, 4,\dots\) die Summe der Differenzen \[ N(w : i)-N(w-1 : i+1), \] so würde nach einem allgemeinen Satze eben diese Summe die Anzahl aller reinen Reciprocanten vom Grade \(i\) liefern, wobei negative Differenzen nicht mitzuzählen sind. Von einem gewissen, von \(i\) abhängigen \(w\) an werden aber stets sämtliche Differenzen Null oder negativ, woraus der mitgeteilte Satz folgt.
Der Verf. wendet sich dann zu einigen ihm von Hrn. Mac Mahon mitgeteilten Sätzen, die wiederum ein neues Licht auf die Verwandtschaft zwischen Reciprocanten und Invarianten werfen. Wir greifen etwa den ersten der Sätze heraus. “Sei \(V\) der “Annihilator für Reciprocanten” (d. h. \(V = 0\) die Differentialgleichung der Reciprocanten), und entsprechend \(\varOmega\) der Annihilator der Invariantenquellen, so ist der Operator \(V\varOmega-\varOmega V\) ein beiden Gebieten gemeinsamer, d. h. er führt eine Reciprocante in eine andere, und ebenso eine Invariantenquelle in eine andere über.”
Derartige Sätze reichen indessen doch nicht aus, um die vollständigen Grundlagen für eine Theorie zu gewinnen, welche die der Reciprocanten und der Invarianten umfassen soll. Um dies zu ermöglichen, wird eine Reihe fundamentaler Betrachtungen herangezogen, welche Hr. Halphen über die Existenz von Invarianten im allgemeinen angestellt hat. Es liege eine Reihe willkürlicher Grössen \(A, B, C, \dots, L\) vor. Ersetzt man diese durch andere \(a, b, c, \dots,l\), welche algebraische Functionen der ersteren von vorgeschriebener Form, aber mit beweglichen Parametern darstellen, so ist das der Act einer “Substitution”. Derartige Substitutionen bilden eine “Gruppe”, wenn die Anwendung von irgend zwei Substitutionen derselben mit einer dritten äquivalent ist. Dann führt die Elimination der beweglichen Parameter zu Gleichungen zwischen “absoluten Invarianten”. Danach lassen sich die allgemeinsten Invarianten geradezu durch ein System von Substitutionen, die eine Gruppe bilden, charakterisiren.
Die Anwendung dieser Theorie auf die Reciprocanten soll in einer weiteren Fortsetzung erfolgen. Zur Vorbereitung wird eine Reihe von eigentümlichen Identitäten zwischen verschieden artigen Operatoren entwickelt.