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On the function theoretical connection between the Lamé, Laplace, and Bessel functions. (Ueber den functionentheoretischen Zusammenhang zwischen den Lamé’schen, Laplace’schen und Bessel’schen Functionen.) (German) JFM 18.0430.02
Die Differentialgleichung der Lamé’schen Functionen lässt sich mit Benutzung der Weierstrass’schen Function \(\wp (u)\) auf die Form bringen: \[ (1) \qquad \frac{d^2 E}{du^2} = \{ n(n+1) [\wp (u) -e_{\lambda}] -h^2\} E \qquad (\lambda =1,2,3). \] Neben diesen Functionen, in denen \(n\) ganzzahlig ist, spielen eine wichtige Rolle die Functionen \(y\), die der Differentialgleichung \[ (2) \qquad \frac{d^2 y}{du^2} = \{( \nu^2 - \tfrac 14) [\wp (u) - e_{\lambda}] -h^2\} y \] genügen, wobei \(\nu\) eine ganze Zahl ist. Der Verfasser zeigt nun, dass sowohl in (1), als in (2) die Differentialgleichung der Kugelfunctionen als Specialfall enthalten ist. Leitet man aus (2) die Differentialgleichung ab, der \[ (3) \qquad z= y[\wp (u) - e_{\lambda} ]^{\frac 14} \] genügt, so geht letztere für \(e_2 = e_3\) und \(\lambda =3\) in die der zugeordneten Kugelfunctionen \(P_{\nu}^m, Q_{\nu}^m\) über mit dem Argument \(\cos (u \sqrt{e_1 - e_3})\) und dem oberen Index \[ m= \frac{h}{\sqrt{e_1 -e_3}} - \frac 12; \] Dieser Index \(m\) braucht keine ganze Zahl zu sein, während der untere Index \(\nu\) ganzzahlig ist. Die sich ergebenden Kugelfunctionen sind also allgemeiner, als die Laplace’schen, und enthalten u.a. auch die Mehler’schen Kegelfunctionen. Für \(e_2 = e_3, \lambda =3\) geht aber auch die Gleichung (1) für \(E\) in die Differentialgleichung der zugeordneten Kugelfunctionen über, nur dass das Argument hier \(-{\text{cotg}}^2 (u \sqrt{e_1 - e_3})\), dass ferner der obere Index \(n\) ganzzahlig, der untere Index\(= \frac{h}{\sqrt{e_1 -e_3}}\) ist. Obwohl sich somit aus (1) sowohl, als aus (2) die Kugelfunctionen ableiten lassen, sind doch nicht die Lamé’schen Functionen \(E\), sondern die durch (2) und (3) definirten Functionen \(z\) als die wahren Verallgemeinerungen der Kugelfunctionen zu betrachten, weil das zweite particuläre Integral von (2), ebenso wie die Kugelfunction \(Q_{\nu}^n (x)\) für \(x=1\) logarithmisch unendlich wird, während das zweite particuläre Integral von (1) stets algebraisch ist.
Für \(e_1 = e_2 =e_3=0\) geht die aus (2) folgende Differentialgleichung für \(z= \frac{y}{\sqrt u}\) in die Differentialgleichung der Bessel’schen Functionen über.
Endlich wird darauf aufmerksam gemacht, dass das, was Heine in seinem Handbuch der Kugelfunctionen über den Zusammenhang der Functionen des elliptischen Cylinders mit den Lamé’schen, Bessel’schen und Kugelfunctionen sagt, nicht richtig ist, dass vielmehr die erstgenannten Functionen zu den übrigen nicht in so naher Beziehung stehen, wie Heine angiebt. Auch Heine’s Darstellung der Functionen des elliptischen Cylinders zweiter Art durch Bessel’sche Functionen ist falsch (cf. das folgende Referat (JFM 18.0432.01)).

MSC:
33C60 Hypergeometric integrals and functions defined by them (\(E\), \(G\), \(H\) and \(I\) functions)
33C10 Bessel and Airy functions, cylinder functions, \({}_0F_1\)
33C55 Spherical harmonics
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