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De generali quadam aequatione differentiali tertii ordinis. (Latin) JFM 18.0297.01

Dieser Aufsatz ist ein Abdruck aus dem Programm des Gymnasiums in Liegnitz vom Jahre 1834. Er enthält bereits die wesentlichen Grundlagen der berühmten Abhandlung des Verfassers über die hypergeometrische Reihe im \(15^{\text{ten}}\) Bande des Crelle’schen Journals. In Verallgemeinerung der von Jacobi aufgestellten Differentialgleichung dritter Ordnung, der alle Modulargleichungen in der Theorie der elliptischen Functionen genügen, betrachtet der Verfasser die Gleichung \[ (1)\qquad 2\;\frac{d^3 z}{dz dx^2} - 3\left( \frac{d^2 z}{dzdx} \right)^2 - Z\;\frac{dz^2}{dx^2} +X=0, \] worin \(Z\) und \(X\) beliebige Functionen der Variabeln resp. \(z\) und \(x\) bezeichnen. Zunächst wird gezeigt, dass die Integration von (1) auf die zweier linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung \[ (2)\qquad \frac{d^2y}{dx^2} + p\;\frac{dy}{dx} + qy=0, \]
\[ (3)\qquad \frac{d^2 v}{dz^2} + P\;\frac{dv}{dz} + Qv =0 \] zurückgeführt werden kann, wo \(p\) und \(P\) beliebige Functionen von resp. \(x\) und \(z\) sein können, \(q\) und \(Q\) aber durch die Gleichungen \[ q= \tfrac 14 \left(2\;\frac{dp}{dx} + p^2 -X \right),\quad Q= \tfrac 14 \left( 2\;\frac{dP}{dz} + P^2 -Z \right) \] bestimmt sind. Bezeichnen \(\varphi(x)\) und \(\varphi_1(x)\) zwei particuläre Integrale von (2), \(\psi(z)\) und \(\psi_1(z)\) ebensolche von (3), so lautet das allgemeine Integral von (1) \[ \frac{\psi_1(z)}{\psi(z)} = \frac{A\varphi(x) + B\varphi_1(x)}{C\varphi(x) + D\varphi_1(x)} \cdot \]
Zugleich existirt die Beziehung \[ y=wv_1,\quad \text{wo} \quad w^2 =ce^{\int Pdz} e^{-\int pdx}\;\frac{dx}{dz} \cdot \] Es folgen zwei Anwendungen. In der ersten ist \[ X= - \left( \frac{(1+x)^2}{x(1-x^2)} \right)^2,\quad Z=- \left( \frac{1+z^2}{z(1-z^2)} \right)^2 \cdot \] In diesem Falle sind \(\varphi(x)\) und \(\varphi_1(x)\) die vollständigen elliptischen Integrale erster Gattung mit den resp. Moduln \(x\) und \(\sqrt{1-x^2}\), und \(\psi(z)\), \(\psi_1(z)\) dieselben Ausdrücke in den transformirten Moduln \(z, \sqrt{1-z^2}\). \(w\) ist der Multiplicator der Transformation, und zwar findet sich \[ w^2 = c\;\frac{z(1-z^2)}{x(1-x^2)}\;\frac{dx}{dz} \cdot \] In der zweiten Anwendung ist \[ X= \frac{Ax^2 + Bx +C}{x^2(1-x)^2}, \quad Z= \frac{A' z^2 + B'z +C'}{z^2(1-z)^2} \cdot \] Hier werden die Hülfsgleichungen (2) und (3) Differentialgleichungen, denen die hypergeometrischen Reihen genügen, und die Integration von (1) kann demnach mittels dieser Reihen bewerkstelligt werden. Zum Schluss werden specielle Fälle hiervon behandelt, in denen die Gleichung (1) unendlich viele algebraische Integrale hat.

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Full Text: Crelle EuDML