×

The rational execution of the operations in the theory of algebraic functions. (Rationale Ausführung der Operationen in der Theorie der algebraischen Functionen.) (German) JFM 16.0349.01

Die vorliegende Darstellung hat den Zweck, zu zeigen, dass die in der Theorie der algebraischen Functionen, wie sie von Brill und Nöther in dem grundlegenden Aufsatze “Ueber die Algebraischen Functionen und ihre Anwendung in der Geometrie” gegeben ist, auftretenden Operationen, welche für eine algebraische Curve \(f(x_1,x_2,x_3)=0\) die Zerfällung gewisser Resultanten, die Bestimmung gewisser Constanten, die Herstellung der zu \(f=0\) adjungirten Curven verlangen, auf durchaus rationale Weise aus \(f(x)=0\) allein hergestellt werden können, und giebt dabei gleichzeitig die vollständige Durchführung der hiermit bezeichneten Aufgaben.
Die Hülfsmittel für alle Entwickelungen liegen in einigen Sätzen aus der Theorie der Elimination aus zwei homogenen Gleichungen mit drei Variabeln. Diese Sätze in Verbindung mit ihrer Anwendung auf die Bestimmung der Multiplicität der Schnittpunkte zweier Curven und die Zerlegung der Multiplicität mit Hülfe eindeutiger Transformationen der Curven bilden im Abschnitt I. und II. die Grundlage der Arbeit.
In Abschnitt III.-V. werden diese Untersuchungen für den Schnitt einer Curve \(f(x)=0\) mit ihrer ersten Polaren \[ f_c=\sum\frac{\partial f}{\partial x_i}c=0 \] angewandt. Die Resultante beider Gleichungen wird dabei (analog der von Kronecker (Journ. XCI. 301) gegebenen Zerfällung der Discriminante) in zwei Factoren, einen “Doppelfactor” und einen “Verzweigungsfactor”, zerlegt. Der erstere, von den \(c\) unabhängig, entspricht den Schnittpunkten von \(f=0\) mit einer beliebigen zu \(f\) adjungirten Curve, der andere den speciellen der Polare allein zukommenden Schnittpunkten. Weiter ergiebt sich die rationale Bestimmung der Geschlechtszahl aus dem Grad der Curve und dem Grad der in des vorgenannten Resultante enthaltenen Doppelfactors und ebenso die rationale Bestimmung aller zu \(f=0\) adjungirten Curven, zunächst mit Hülfe eines Systems von linearen homogenen Gleichungen zur Bestimmung ihrer Coeffieienten.
Der folgende VI. Abschnitt giebt zunächst die Beziehung der vorliegenden Entwickelungen zu den früheren Untersuchungen des Verfassers zur Theorie der algebraischen Functionen (Klein. Ann. VII. und XVII.), durch die Darstellung des Restsatzes für allgemeine und für mit beliebigen Singularitäten behaftete Curven. Die Verwendung des Restsatzes liefert dann noch die Bestimmung der zu \(f\) adjungirten Curven (zunächst \((m-3)^{\text{ter}}\) Ordnung) auf einem einfacheren Wege als oben. Damit ist dann gleichzeitig die Aufstellung der zugehörigen Differentiale erster Gattung auch für beliebig singuläre Curven \(f(x)=0\) gegeben, denn diese stellen sich dar in der Form \[ du=\frac{\varphi(x).\varSigma\pm c_1x_2dx_3}{\varSigma_k c_k\frac{\partial f(x)}{\partial x_k}}, \] wo die \(\varphi(x)=0\) die zu \(f(x)=0\) adjungirten Curven \((m-3)^{\text{ten}}\) Ordnung bedeuten.

MSC:

14H05 Algebraic functions and function fields in algebraic geometry
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI