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Generalizzazione di un teorema sulla rappresentazione analitica delle sostituzioni. (Italian) JFM 15.0116.01
Die Form \[ \theta (r)\equiv r^{2\mu -(2s-1)}+a_1r^{\mu -(s-1)}+a_2r^{\mu -(2s-1)}+\dotsm \] \[ +a_hr^{\mu -(hs-1)}+br \quad (\text{mod}.p), \] wo \(p\) eine Primzahl und \(\mu =\frac {p-1}2\) ist, kann für \(h>1\) keine Substitution zwischen \(p\) Elementen darstellen, falls der grösste gemeinsame Teiler \(d\) von \(\mu\) und \(s\) kleiner ist als \(\frac {\mu}{3(hs-1)}\), und keiner der Coefficienten \(a_1,\; a_2,\ldots ,\; b\) gleich 0 wird.
Hat man dagegen \[ 2(hs-1)<\frac {\mu}d \leqq 3(hs-1), \] dannist es notwendig, damit \(\theta\) eine Substitution darstellen könne, dass, falls \(b\) nicht \(\equiv 0\) ist, für \(s>1\) \[ b\equiv \mu (2s-1)a_1^2 \quad (\text{mod}.p) \] erfüllt werde.
Damit \[ \theta (r)\equiv r^{2\mu -s}+ar^{\mu -s} \quad (\text{mod}.p) \] eine Substitution unter \(p\) Elementen darstelle, ist es notwendig und hinreichend, dass \(s\) mit \(2\mu =p-1\) höchstens den Teiler 2 gemeinsam habe, und dass \[ (1+a)^{\mu}\equiv \pm (1-a)^{\mu}\quad (\text{mod}.p) \] sei, wo das obere Zeichen sich auf den Fall bezieht, dass \(s\) zu \(2\mu\) relativ prim ist, das untere auf den Fall, dass \(s\) und \(2\mu\) den Teiler 2 gemeinsam haben.

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