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Spin and hyperelliptic structures of log twisted differentials. (English) Zbl 1409.14048
Étant donné \(g\geq1\) et une partition \(\mu=(m_{1},\dots,m_{n})\) de \(2g-2\), on définit la strate \(\mathcal{H}(\mu)\) paramétrant les paires \((X;\omega)\) où \(X\) est une surface de Riemann de genre \(g\) et \(\omega\) est une différentielle abélienne telle que \(\text{div}(\omega)=\sum m_{i}p_{i}\). Le but de cet article est d’introduire une compactification fonctorielle des strates de différentielles.
Cette compactification est basée sur la notion de différentielle entrelacée (twisted differential) introduite par [M. Bainbridge et al., Duke Math. J. 167, No. 12, 2347–2416 (2018; Zbl 1403.14058)] afin de décrire la fermeture des strates dans la compactification de Deligne-Mumford. Les auteurs étendent cette notion via la géométrie logarithmique. De manière très informelle, les structures log que les auteurs considèrent correspondent aux vecteurs horizontaux aux nœuds de la différentielle entrelacée. Cela leur permet de définir le champs algébrique \(\mathcal{H}'(\mu)\) paramétrant les différentielles log entrelacées de signature \(\mu\). La strate \(\mathcal{H}(\mu)\) correspondant à l’ouvert où la structure log est triviale. N.B. De manière rigoureuse, le champs \(\mathcal{H}'(\mu)\) n’est pas une compactification de \(\mathcal{H}(\mu)\) car ils existent des composantes additionnelles. Afin de décrire la composante contenant la strate, il faut prendre en compte la condition résiduelle globale introduite dans l’article loc. cit. Les auteurs annoncent que cela est possible, mais à la connaissance du rapporteur, la preuve de ce fait n’est pas encore apparue.
Comme application de cette notion, les auteurs étudient la parité des différentielles log entrelacées. En effet, [M. Kontsevich and A. Zorich, Invent. Math. 153, No. 3, 631–678 (2003; Zbl 1087.32010)] montre que les composantes connexes de \(\mathcal{H}(\mu)\) sont classifiées par un invariant de parité spin et un invariant hyperelliptique. Le fait que ces composantes s’intersectent en prenant la fermeture dans la compactification de Deligne-Mumford avait été constaté indépendamment par le rapporteur [Q. Gendron, Ann. Inst. Fourier 68, No. 3, 1169–1240 (2018; Zbl 1403.14059)] et par le premier auteur [D. Chen, J. Differ. Geom. 107, No. 3, 395–453 (2017; Zbl 1388.14080)]. Les auteurs montrent que la fermeture des composantes de différentes parité de \(\mathcal{H}(\mu)\) restent disjointes dans \(\mathcal{H}'(\mu)\). Toutefois, la composante hyperelliptique et la composante de même parité peuvent s’intersecter dans \(\mathcal{H}'(\mu)\). Pour palier à ce défaut, les auteurs introduisent les une version logarithmique des différentielles entrelacées hyperelliptiques basé sur la théorie des revêtements admissibles. Les auteurs montrent que le champs algébrique paramétrant ces objets est log-lisse (ce qui est équivalent au fait que le bord est toroïdal).
Pour terminer, il est à noté que les auteurs introduisent certaines notions dans un cadre plus général que celui de ce rapport. En particulier, leur méthode donne une compactification des strates de \(k\)-différentielles.

MSC:
14H10 Families, moduli of curves (algebraic)
14D23 Stacks and moduli problems
30F30 Differentials on Riemann surfaces
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI arXiv
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