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On the contact of solid elastic bodies. (Ueber die Berührung fester elastischer Körper.) (German) JFM 14.0807.01
Zwei elastische isotrope Körper berühren sich in einem sehr kleinen Teile ihrer Oberflächen und durch diesen Teil übt der eine auf den anderen einen endlichen, senkrechten Druck aus; für sie bestimmt der Verfasser aus der Elasticitätstheorie die Verschiebungen und Spannungen in der Nähe des Berührungspunktes . Das beiden Körpern nach der Deformation gemeinsame Stück der Oberfläche wird die Druckfläche, die Begrenzung dieser die Druckfigur genannt. Die Druckfläche wird als eine Fläche zweiten Grades betrachtet. Die Grössen, welche sich auf den einen oder den andern der beiden Körper beziehen, seien durch die Indices 1 und 2 von einander unterschieden, die Elasticitätsconstanten seien also \(K_1, \theta_1\) und \(K_2, \theta_2\). Zur Abkürzung wird gesetzt \[ \vartheta_1\;=\;\frac{2(1+\theta_1)}{K_1(1+2\theta_1)}\quad\text{und}\quad \vartheta_2\;=\;\frac{2(1+\theta_2)}{K_2(1+2\theta_2)} \] Der Gesammtdruck sei \(p\).
Als Druckfigur wird eine Ellipse gefunden, deren Axen \(a\) und \(b\) gegeben sind durch die Gleichungen \[ \begin{aligned} & \int^{\infty}_0\frac{du}{\root\of{(a^2+u)^3(b^2+u)u}}\;=\;\frac{A}{\vartheta_1+\vartheta_2}\frac{16\pi}{3p}, \\ & \int^{\infty}_0\frac{du}{\root\of{(a^2+u)(b^2+u)u}}\;=\;\frac{B}{\vartheta_1+\vartheta_2}\frac{16\pi}{3p}, \end{aligned} \] oder, wenn die Grössen \(A\) und \(B\) durch die Hauptkrümmungen und einen Hülfswinkel \(\tau\) ausgedrückt werden, \[ a\;=\;\mu\root{3}\of{\frac{3p(\vartheta_1+\vartheta_2)}{8(\varrho_{11}+\varrho_{12}+ \varrho_{21}+\varrho_{22})}},\quad b\;=\;\nu\root{3}\of{\frac{3p(\vartheta_1+\vartheta_2)}{8(\varrho_{11}+ \varrho_{12}+\varrho_{21}+\varrho_{22})}}, \] wo \(\mu\) und \(\nu\) transcendente Functionen des Winkels \(\tau\) sind. In einer Tabelle sind die Werte dieser Functionen für die 10 Werte von \(\tau :0^{\circ}, 10^{\circ} \ldots 90^{\circ}\) mitgeteilt. Es ergiebt sich, “dass die Druckellipse immer länglicher ist, als die Ellipsen, in welchen der Abstand der beiden Körper constant ist. Für die absolute Grosse der Druckfläche folgt, dass dieselbe bei gegebener Form der Oberflächen proportional ist der dritten Wurzel aus dem Druck, sowie der dritten Wurzel aus der Grösse \(\vartheta_1+\vartheta_2 \ldots\) Bei gleicher Gestalt der sich berührenden Oberflächen ist die Annäherung proportional der \(\frac 23^{\text{ten}}\) Potenz des Druckes und der gleichen Potenz der Grösse \(\vartheta_1+\vartheta_2\).” Die Beanspruchung des Elementes, in welchem der Berührungspunkt liegt, wird bestimmt, überhaupt die Verteilung des senkrechten Druckes in der Druckfläche untersucht. Dabei ist die Bestimmung der Maximaldrucke von Wichtigkeit, welche in den auf einander gepressten Körpern vorkommen; denn von diesen hängt es ab, ob der Druck ohne bleibende Deformation ertragen wird, “ ... es ist bei unserer heutigen Kenntnis von der Festigkeit spröder Körper überhaupt nicht möglich, genau dasjenige Element zu bestimmen, in welchem die Bedingungen für das Zustandekommen eines Sprunges bei wachsendem Druck zuerst auftreten. Indessen zeigt eine eingehendere Discussion so viel, dass in Körpern, welche in ihrem elastischen Verhalten dem Glase oder harten Stahle ähnlich sind, bei weitem die stärksten Zugkräfte in der Oberfläche und zwar am Rande der Druckfigur auftreten. Es wird durch eine solche Discussion wahrscheinlich, dass der erste Sprung an den Enden der kleinen Axe der Druckellipse entsteht und senkrecht zu dieser Axe am Rande der Druckellipse entlang läuft.” Besonders einfach werden die Formeln den Fall, dass beide sich berührende Körper Kugeln sind. Nachdem der Verfasser einige Beispiele gegeben hat, wendet er die Formeln auf den Stoss elastischer Körper an, d. h. dieses Problem wird näherungsweise gelöst. Die grösste Annäherung der Körper, der zwischen den Körpern gleichzeitig auftretende Maximaldruck, die Dimensionen der Stossfläche und die Dauer der Berührung (die Stosszeit) werden bestimmt. Die Werte dieser Grössen für den centralen Stoss zweier Stahlkugeln von gleichem Radius werden angegeben.

MSC:
74B05 Classical linear elasticity
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Full Text: Crelle EuDML