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The theory of Fuchsian groups. (Théorie des groupes fuchsiens.) (French) JFM 14.0338.01
Die vorliegende Abhandlung ist die erste unter einer Reihe von ausführlichen Abhandlungen, in welchen der Verfasser seine Untersuchungen über eindeutige Functionen mit linearen Transformationen in sich darlegt, deren wesentliche Principien und Resultate er vorher zunächst in den Bänden 92–94 der C. R. (vergl. hierzu das Referat in JFM 13.0247.01) und in einem zusammenfassenden Aufsatze in Klein Ann. 19, 553–565 (1881; JFM 14.0344.03) entwickelt hat.
Die Gruppen linearer Transformationen einer Grösse \(z\), \[ z'= \frac{az+b}{cz+d}, \] sind zunächst in continuirliche (solche, unter welchen sich unendlich kleine Substitutionen finden) und discontuirliche (mit nur endlichen Substitutionen) zu trennen. Unter den letzteren (deren weitere Klassification in den späteren Arbeiten folgt) sondert der Verfasser hier die Gruppen mit reellen Coefficienten ab. Sie haben die Eigenschaft, dass bei ihren Substitutionen die Axe der reellen Zahlen in sich übergeht. Unmittelbar mit diesen sind die Gruppen verbunden, welche aus den eben betrachteten durch eine ,,Transformation mit irgend einer bestimmten Substitution \( { \left( z, \frac{\alpha z + \beta}{\gamma z + \delta} \right) } ``\) hervorgehen, also die Gruppen, für welche sich die einzelnen Substitutionen in der Form schreiben lassen: \[ \left( \frac{\alpha z + \beta}{\gamma z + \delta},\frac{\alpha \cdot \frac{az+b}{cz+d} + \beta}{\gamma \cdot \frac{az+b}{cz+d} + \delta} \right) , \] wo \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\), \(\delta\) ganz beliebige, die \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) wieder reelle Zahlen bedeuten. Bei den Substitutionen dieser Gruppe geht derjenige Kreis in der \(z\)-Ebene in sich über, der aus der Axe der reellen Zahlen durch die Transformation mit der Substitution \(\left( z, \frac{\alpha z+\beta}{\gamma z + \delta} \right)\) entsteht. Es stimmten selbstverständlich diese letzteren Gruppen vollständig mit den Gruppen mit reellen Substitutionen überein, welche somit allein zur Betrachtung gezogen werden. Die hiermit bezeichnete Klasse von discontinuirlichen Gruppen ist es, welche Poincaré als ,,groupes fuchsiens“ bezeichnen, während er für die allgemeinsten discontinuirlichen Gruppen linearer Substitutionen die Bezeichnung als ,,groupes kleinéens“ gewählt hat.
Der Ausgangspunkt, den der Verfasser für das Studium unserer Gruppen zu Grunde legt, ist die geometrische Deutung der linearen Substitutionen, für welche zunächst die allgemein bekannten Sätze entwickelt werden. Mit Bezug auf die Gruppen reeller Substitutionen seien dann irgend zwei Figuren in der \(z\)-Ebene als ,,congruent“ bezeichnet, wenn sie durch eine reelle lineare Substitution in einander übergeführt werden können. Diese Definition bringt für die \(z\)-Ebene die Einführung einer nichteuklidischen Massbestimmung mit sich, in welcher die Bogenlänge (\(z=x+iy\) gesetzt) durch das Integral \[ \int \frac{mod dz}{y}, \] der Flächeninhalt durch \[ \int \frac{dx dy}{y^{2}} \] ausgedrückt wird. Die Entfernung zweier Punkte wird dabei längs des Kreisbogens gemessen, der, durch die beiden Punkte gehen, auf der \(x\)-Axe senkrecht steht. Die Bedingung, nach welcher zwei Punkte \(\alpha\), \(\beta\) in zwei andere \(\gamma\), \(\delta\) übergreführt werden können, ist dann die der ,,Congruenz“ der entsprechenden Kreisbögen. Berücksichtigt man, dass bei Ueberführung von \(\alpha\), \(\beta\) nach \(\gamma\), \(\delta\) gleichzeitig die zu \(\alpha\), \(\beta\) conjugirten Punkte \(\alpha'\), \(\beta'\) in die entsprechenden Punkte \(\gamma'\), \(\delta'\) übergehen, so lautet diese Bedingung: \[ \frac{\alpha - \alpha'}{\alpha- \beta'} \cdot \frac{\beta - \beta'}{\beta - \alpha'}= \frac{\gamma - \gamma'}{\gamma - \delta'} \cdot \frac{\delta - \delta'}{\delta - \gamma'}. \] Die Bestimmung der Winkel bleibt in userer Geometrie in der gewöhnlichen Form enthalten. Es mag dabei noch die Bemerkung eingeschaltet werden, dass die Formulirung unserer Massbestimmung sich am einfachsten überschen lässt, wenn man, anstatt die Variable \(z\) in der Ebene zu deuten, eine Kukelfläche mit dem Aequator als Axe der reellen Zahlen zu Hülfe nimmt. Ueberdies gelangt man durch eine Orthogonalprojection der Kugel aus die Aequatorialebene dort zu der gewöhnlich als nichteuklidisch bezeichneten Massbestimmung mit dem Aequator als ,,Fundamentalkreis“ und hat in dieser so herbeigeführten Versinnlichung der linearen Transformationen in der Ebene eine in den einschlägigen Arbeiten von Klein vielfach angewandte Darstellung vor sich.
Gestützt auf diese geometrischen Formulirungen, und die Existenz discontinuirlicher Gruppen reeller linearer Substitutionen vorausgesetzt, hat man nun den Satz, dass jede solche Gruppe Anlass zu einer regulären Gebietseinteilung der complexen Ebene oder eines Teiles derselben giebt, d. h. zu einer Einteilung in zu einander (mit Bezug auf reelle Substitutionen) ,,congruente“ Gebiete, welche jedesmal nur solche Punkte enthalten, die nicht durch eine Substitution der Gruppe aus einander hervorgehen. Dabei entspricht jeder Substitution der Gruppe eindeutig ein bestimmtes Gabiet der Einteilung. Umgekehrt ist durch jede derartige Gebietseinteilung eine Fuchs’sche Gruppe bestimmt, so dass die Frage nach allen diesen Gruppen gleichbedeutend ist mit der geometrischen nach allen so definirten regulären Einteilungen der \(z\)-Ebene. In der Folge handelt es sich eben um die Lösung dieses letzteren Problems, aus der geometrischen Formulirung heraus die zugehörigen Gruppen linearer Transformationen zu finden.
Zu dem Ende werden (in \(\S\) 3) zunächst die möglichen Gestalten der Eckpunkte und Kanten einer solchen Einteilung klassificirt. Berücksichtigt man, dass sich unsere Gebietseinteilungen bis an die \(x\)-Axe fortsetzen lassen, so hat man zunächst für die Kanten der Einteilung zwei Fälle: a) Kanten erster Art, die von der \(x\)-Axe verschieden sind, b) Kanten zweiter Art, die ein Stück der \(x\)-Axe bilden. Weiter klassificiern sich die Eckpunkte a) in solche ausserhalb der \(x\)-Axe, b) in solche auf der \(x\)-Axe, und diese letzteren sind wieder zu trennen in solche, in denen zwei Kanten erster Art, und in solche, in denen eine Kante erster Art und eine Kante zweiter Art einlaufen. Die Kanten erster Art eines ,,Ausgangspolygons“ der Einteilung müssen dabei stets paarweise durch Substitutionen der Gruppe einander zugeordnet sein. Die Substitutionen, welche die sämmtlichen Kanten erster Art des Ausgangspolygons einander zuordnen, bilden dabei das System der ,,erzeugenden Substitutionen“ der Gruppe; sie mögen in der Form \[ (z,f_{i} (z)) \] geschrieben sein. Zwischen diesen erzeugenden Substitutionen besteht eine Reihe von Relationen der Form \[ z=f_{a_{1}}(f_{a_{2}}(\cdots f_{a_{\nu}}(z) \cdots), \] die man erhält, wenn man alle Ecken des Ausgangsgebietes mit kleinen geschlossenen Wegen umgiebt und diese Wege durch die entsprechenden Substitutionen (nach den dabei durchlaufenen Gebieten) charakterisirt. Die Bemerkung, dass zwar durch eine gegebene reguläre Einleitung die zugehörige Gruppe völlig bestimmt, nicht aber umgekehrt durch eine gegebene Gruppe reeller linearer Substitutionen die zugehörige Einteilung, lässt gewisse Normalformen einer solchen Einteilung formuliren, die den folgenden Betrachtungen zu Grunde gelegt werden. man zeigt nämlich (\(\S\) 4), dass die Einteilung stets, und noch auf unendlich viele Weisen, in der Form hergestellt werden kann, dass die einzelnen Gebiete von Kreisbögen begrenzt erscheinen, die auf der \(x\)-Axe senkrecht stehen. Es wird nun (in \(\S\) 5) eine erste Klassification der verschiedenen Arten von Gebietseinteilungen getroffen, und zwar nach der Anordnung der einzelnen Eckpunkte derselben zu ,,Cyklen“. Der Verfasser definirt nämlich einen ,,Cyklus von Eckpunkten“ folgendermassen: Man gehe von einem Eckpunkte der Einteilung, bezeichne (den Rand des betreffenden Ausgangspolygons in einem bestimmten Sinne durchlaufend) die anstossende Kante, dann gehe man zu der ihr in diesem Polygone zugeordneten Kante (sofern dieselbe erster Art ist), dann zum angrenzenden Eckpunkt, zur hier anstossenden Kante, zu deren conjugirten, u. s. w. Schliesslich kommt man entweder zu einer Kante zweiter Art, wo dann der Cyklus der durchlaufenen Eckpunkte, mit zwei Kanten zweiter Art abbrechend, als offen bezeichnet wird, oder aber man kommt wieder zu dem Eckpunkte zurück, von dem man ausgegangen, ,,geschlossener Cyklus“. Je nachdem nun die durchlaufenen Eckpunkte nur der Categorie 1) (conf. oben), oder der Categorie 2), oder endlich den Categorien 2) und 3) angehören, spricht man von Cyklen erster Art (für welche sämmtliche Eckpunkte ausserhalb der \(x\)-Axe liegen), von Cyklen zweiter und dritter Art. Die Cyklen erster und die zweiter Art sind geschlossene, die dritter Art sind offene Cyklen. Nach dieser Einteilung lassen sich die möglichen Formen des Ausgangspolygons für unsere Gruppen in sieben Familien einordnen, je nachdem die Ecken dieses Polygons nur Cyklen der ersten, der zweiten, der dritten, der ersten und zweiten, der zweiten und dritten, der dritten und ersten oder endlich allen drei Categorien angehören. Die Mannigfaltigkeit der hiermit bezeichneten Formen, sowie noch eine weitere Untergleiderung, auf die wir hier nicht näher eingehen, ist an einzelnen Beispielen erläutert, die auch für die folgenden Untersuchungen wieder herangezongen werden.
Nun lassen sich zwei nothwendige Bedingungen für die Möglichkeit einer regulären Einteilung in unserem oben definirten Sinne angeben. Sie lauten: 1) Es müssen je zwei einander zugeordnete Kanten des Ausgangspolygons ,,congruent“ sein. 2) Es muss die Winkelsumme derjenigen Eckpunkte des Ausgangspolygons die zu einem Cyklus erster Art gehören, ein aliquoter Teil von \(2 \pi\) sein. In \(\S 7\) wird nun gezeigt, dass diese Bedingungen auch hinreichend für die Existenz solcher Einteilungen sind, und damit ist gleichzeitig der Existenzbeweis für die Fuchs’schen Gruppen geliefert. Der Beweis wird durch eine detailliarte geometrische Untersuchung und Discussion der verschiedenen gestaltlichen Möglichkeiten erbracht. Es schliessen sich Beispiele an, in welchen insbesondere der durch die Arbeiten von Schwarz und Klein zuerst betonen ,,regulär-symmetrischen“ Einteilungen Erwähnung getan wird.
Eine weitere Klassification der verschiedenen regulären Gebietseinteilungen, die in \(\S 8\) ausgeführt ist, und welche jedenfalls eine viel principiellere Bedeutung besitzt, als die vorhergenannte Klassification nach Familien, ist die nach dem Geschlechte, deren erste Formulirung von Klein herrührt. Denkt man sich nämlich die paarweise Zuordnung der Kanten erster Art im Ausgangspolygon durch Zusammenbiegen der Ränder wirklich ausgeführt, so entsteht eine Fläche, die jetzt bis auf die von den Kanten zweiter Art gebildeten Oeffnungen geschlossen ist, und deren Geschlecht sich sofort aus den bekannten Formeln herleitet.
Nachdem in \(\S 9\) die vorhin erwähnte Möglichkeit der Deformation der Gebietseinteilung auch an Beispielen erläutert und Familie, Geschlecht und gewisse Eigenschaften der Cyklen als unveränderlich bei solchen Deformationen erwiesen sind, geht der Verfasser in \(\S 10\) auf den Isomorphismus der Gruppen näher ein. Zwei Gruppen können nämlich dann und nur dann auf einander isomorph bezogen werden, wenn die Zahl ihrer erzeugenden Substitutionen für beide dieselbe ist, und ausserdem die zwischen jenen statthabenden Relationen für beide Gruppen übereinstimmen. Insofern nun die Anzahl jener Fundamentalrelationen mit der Zahl derCyklen erster Art des Ausgangspolygons übereinstimmt, kann man sofort gewisse Schlüsse auf die Möglichkeit einer isomorphen Beziehung machen, wobei insbesondere die Gruppen hervorgehoben werden, für welche überhaupt keine Relationen existiren.
Nun handelt es sich noch darum (§11), nachdem gezeigt ist, wie aus den geometrischen Daten des Ausgangspolygons sofort die linearen Substitutionen \(z=f_i(z)\) gebildet werden können, die Charakteristik aller möglichen Ausgangspolygone einer bestimmten Familie und einer bestimmten Anzahl erzeugender Substitutionen zu bilden. Der zunächst geometrisch aus den möglichen Gestalten der Fundamentalpolygone erschlossene Charakter giebt die Bedingungen (Ungleichungen) für die Cofficienten der linearen Substitutionen, welche als die erzeugenden Substitutionen der entsprechenden linearen Gruppe auftreten. Die Durchführung dieser Aufgabe ist nicht in abstracto gegeben, sondern an eine Reihe einzelner Beispiele angeschlossen, welche die auftretenden Möglichkeiten zu behandeln bestimmt sind.
Den Schluß der Abhandlung bildet eine kurze Zusammenstellung der vorhandenen Literatur des Gegenstandes.
Bibliographie: [1] J’emploierai dans ce qui suit les notations de M. Jordan. La substitution \(4[z, f(z)]\) ou bien \(x, y; f(x,y), \psi(x,y)]\) sera l’opération qui consiste à changer \(z\) en \(f(z)\) on bien celle qui consiste à changer \(x\) en \(f(x, y)\) et \(y\) en \(\psi(x,y)\). La substitution inverse de \([z, f(z)]\) sera \([f(z),z]\); le produit de deux substitutions sera l’opération qui consiste à faire successivement ces deux substitutions. Un système de substitutions formera un groupe si la substitution inverse de toute substitution du système et le produit de deux substitutions quelconques du système font également partie du système. Un groupe \(A\) est isomorphe à un autre groupe \(B\) si à toute substitution de \(B\) correspond une et une seule substitution de \(A\) et de telle sorte qu’au produit de deux substitutions de \(B\), corresponde le produit des deux substitutions correspondantes de \(A\). Si \(B\) est également isomorphe à \(A\), les deux groupes sont isomorphes entre eux et l’isomorphisme est holoèdrique; autrement il est mérièdrique.

MSC:
30F35 Fuchsian groups and automorphic functions (aspects of compact Riemann surfaces and uniformization)
Keywords:
Fuchsian groups
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References:
[1] J’emploierai dans ce qui suit les notations de M. Jordan. La substitution [z, f(z)] ou bien [x, y; f(x, y), {\(\psi\)} (x, y)] sera l’opération qui consiste à changerz enf(z) on bien celle qui consiste à changerx f(x, y) ety en {\(\psi\)} (x, y). La substitution inverse de [z, f(z)] sera [f(z),z]; le produit de deux substitutions sera l’opération qui consiste à faire successivement ces deux substitutions. Un système de substitutions formera ungroupe si la substitution inverse de toute substitution du système et le produit de deux substitutions quelconques du système font également partie du système. Un groupeA estisomorphe à un autre groupeB si à toute substitution deB correspond une et une seule substitution deA et de telle sorte qu’au produit de deux substitutions deB, corresponde le produit des deux substitutions correspondantes deA. SiB est également isomorphe àA, les deux groupes sont isomorphes entre eux et l’isomorphisme estholoèdrique; autrement il estmérièdrique.
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