×

zbMATH — the first resource for mathematics

An unpublished paper ‘Über einige durch unendliche Reihen definierte Funktionen eines complexen Argumentes’ by Adolf Hurwitz. (English) Zbl 1384.01020
Summary: In [Math. Ann. 56, 615–644 (1903; JFM 34.0461.02)], P. Epstein published his proof of meromorphic continuation and a functional equation for Dirichlet series associated with quadratic forms, now called Epstein zeta-functions. However, already in 1889 (or even earlier) Hurwitz was aware of these results as his mathematical diaries and some unpublished notes (in an almost final form) found in his estate at the ETH Zurich show. In this article we present and analyze Hurwitz’s notes and compare his reasoning with Epstein’s paper in detail.
MSC:
01A55 History of mathematics in the 19th century
01A60 History of mathematics in the 20th century
01A70 Biographies, obituaries, personalia, bibliographies
11-03 History of number theory
11M41 Other Dirichlet series and zeta functions
Biographic References:
Hurwitz, Adolf
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI
References:
[1] Bianchi, L., Opere, vol. XI: corrispondenza, (1959), Edizioni Cremonese Roma
[2] Bottazzini, U.; Gray, J., Hidden harmony - geometric fantasies. the rise of complex function theory, (2013), Springer · Zbl 1276.30006
[3] Burde, G.; Schwarz, W.; Wolfart, J., MAX Dehn und das mathematische seminar der universität Frankfurt im fluss der zeit, Algorismus, 462-483, (2004)
[4] Dirichlet, P., Recherches sur diverses applications de l’analyse infinitésimale à la théorie des nombres, J. Reine Angew. Math., 19,21, 324-369, (1839), 1-12, 134-155
[5] Eisenstein, G., Beiträge zur theorie der elliptischen functionen, J. Reine Angew. Math., 35, 137-184, (1847)
[6] Epstein, P., Zur theorie allgemeiner zetafunctionen, Math. Ann., 56, 615-644, (1903) · JFM 34.0461.02
[7] Epstein, P., Zur theorie allgemeiner zetafunktionen. II, Math. Ann., 63, 205-216, (1907) · JFM 37.0433.02
[8] Hecke, E., Über die zetafunktionen beliebiger algebraischer zahlkörper, Nachr. Ges. Wiss. Göttingen, 77-89, (1917) · JFM 46.0256.02
[9] Herglotz, G., Über die analytische fortsetzung gewisser dirichletscher reihen, Math. Ann., 61, 551-560, (1905) · JFM 37.0433.01
[10] Hilbert, D., Adolf Hurwitz, Math. Ann., 83, 161-172, (1921) · JFM 48.0015.02
[11] Hurwitz, A., Einige eigenschaften der dirichletschen funktionen \(f(s) = \sum(\frac{D}{n}) \frac{1}{n^s}\), die bei der bestimmung der klassenzahlen binärer quadratischer formen auftreten, Z. Angew. Math. Phys., 27, 86-101, (1882) · JFM 14.0371.01
[12] Hurwitz, A., Ueber Riemann’s convergenzcriterium, Math. Ann., 44, 83-88, (1894) · JFM 25.0374.02
[13] Hurwitz, A., Ueber die bedingungen, unter welchen eine gleichung nur wurzeln mit negativen reellen teilen besitzt, Math. Ann., 46, 273-284, (1895) · JFM 26.0119.03
[14] Hurwitz, A., Vorlesungen über allgemeine funktionentheorie und elliptische funktionen, (1922), Springer · JFM 48.1207.01
[15] Hurwitz, A., ETH. Die Mathematischen Tagebücher und der übrige handschriftliche Nachlass von Adolf Hurwitz. Handschriften und Autographen der ETH Zürich, HS 582, HS 583, http://www.e-manuscripta.ch/.
[16] Jacobi, C., Suite des notices sur LES fonctions elliptiques, J. Reine Angew. Math., 3, 403-404, (1828)
[17] Kinkelin, H., Allgemeine theorie der harmonischen reihen, mit anwendungen auf die zahlentheorie, Programm der Gewerbeschule Basel, 1-32, (1862)
[18] Koecher, M.; Krieg, A., Elliptische funktionen und modulformen, (2007), Springer · Zbl 1129.11001
[19] Krazer, A.; Prym, F., Neue grundlagen einer theorie der allgemeinen thetafunctionen, (1892), Teubner · JFM 23.0492.02
[20] Krieg, A., On the Epstein zeta function, Results Math., 25, 339-340, (1994) · Zbl 0810.11022
[21] Kronecker, L., Zur theorie der elliptischen functionen, Berl. Sitzungsber., XX, 99-120, (1890), 123-130, 219-241, 307-318, 1025-1029 · JFM 22.0471.01
[22] Landau, E., Neuer beweis des primzahlsatzes und beweis des primidealsatzes, Math. Ann., 56, 645-670, (1903) · JFM 34.0228.03
[23] Lerch, M., Sur la fonction \(\|(w, x, s) = \sum_{k = 0}^\infty \frac{\exp(2 k \pi i x)}{(w + k)^s}\), Acta Math., 11, 19-24, (1887) · JFM 19.0438.01
[24] Lipschitz, R., Untersuchung einer aus vier elementen gebildeten reihe, J. Reine Angew. Math., 54, 313-328, (1857)
[25] Lipschitz, R., Untersuchungen der eigenschaften einer gattung von unendlichen reihen, J. Reine Angew. Math., 105, 127-156, (1889) · JFM 21.0176.01
[26] Mellin, H., Über eine verallgemeinerung der riemannschen function \(\zeta(s)\), Acta Soc. Sci. Fenn., 24, (1899), 50 p
[27] Minkowski, H., Peter gustav lejeune Dirichlet und seine bedeutung für die heutige Mathematik, Jahresber. Dtsch. Math.-Ver., 14, 149-163, (1905) · JFM 36.0013.01
[28] Minkowski, H., Briefe an david Hilbert, (1973), Springer, Rüdenberg, L., Zassenhaus, H. (Eds.) · Zbl 0266.01018
[29] Oswald, N.; Steuding, J., Complex continued fractions: early work of the brothers Adolf and Julius Hurwitz, Arch. Hist. Exact Sci., 68, 499-528, (2014) · Zbl 1304.01026
[30] Oswald, N.; Steuding, J., Aspects of zeta-function theory in the mathematical works of Adolf Hurwitz, (Sander, J.; etal., From Arithmetic to Zeta-Functions. Number Theory in Memory of Wolfgang Schwarz, (2016), Springer), 309-351 · Zbl 1376.01009
[31] Oswald, N.; Steuding, J., Zeta-functions associated with quadratic forms in Adolf Hurwitz’ estate, Bull. Am. Math. Soc., 53, 477-481, (2016) · Zbl 1338.01053
[32] Riemann, B., Beiträge zur theorie der durch die Gauss’sche reihe \(f(\alpha \beta, \gamma, x)\) darstellbaren functionen, Göttingen Abh., 7, 3-22, (1857)
[33] Riemann, B., Theorie der Abel’schen functionen, J. Reine Angew. Math., 54, 115-155, (1857)
[34] Riemann, B., Über die anzahl der primzahlen unterhalb einer gegebenen grösse, Monatsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin, 671-680, (1859)
[35] Riemann, B., Convergenz der p-fach unendlichen theta-reihe, (Gesammelte Mathematische Werke, Wissenschaftlicher Nachlass und Nachträge - Collected Papers: Nach der Ausgabe von Heinrich Weber und Richard Dedekind, neu herausgegeben von Raghavan Narsimhan, (1861), Springer/Teubner), 483-486, 1990
[36] Scharlau, W., The mathematical correspondence of rudolf Lipschitz, Hist. Math., 13, 165-167, (1986) · Zbl 0627.01022
[37] Siegel, C., Zur geschichte des frankfurter mathematischen seminars, (Gesammelte Abhandlungen, Vol. III, (1966), Springer)
[38] Titchmarsh, E., On Epstein’s zeta-function, Proc. Lond. Math. Soc., 36, 485-500, (1934) · JFM 60.0273.02
This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. It attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming the completeness or perfect precision of the matching.