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On the algebra of logic. (English) JFM 12.0041.01
In drei Capiteln, syllogistic, the logic of non-relative terms, the logic of relatives giebt Peirce eine algebraische Logik. Die Idee ist bekanntlich nicht mehr neu, wohl aber manches in der Ausführung Peirce’s.
Capitel 1. Eine physiologische Einleitung ist vorangestellt (§1). Die Syllogistik erhält ihre Grundlage durch Feststellung der wichtigen Schluss- und Urtheilsformen und ihrer Bezeichnungen (§2\(-\)3). Die alten Unterscheidungen werden verworfen. Satz und Schluss, Begriff und Satz werden identificirt. Die Schlüsse sind unmittelbare, Syllogismen und Dialogismen. Ein unmittelbarer Schluss ist ein rein formaler vollständiger Schluss aus einer Prämisse. Jeder materiale Schluss enthält mehr als eine Prämisse. Schlüsse mit mehr als zwei Prämissen, können in eine Reihe von Schlüssen mit zwei Prämissen und einer einfachen Conclusion oder mit einer Prämisse und einer doppelten alternativen Conclusion zerlegt werden. Erstere heissen Syllogismen, letztere Dialogismen. Für die Urtheile ist nur die Unterscheidung zweier Hauptformen nöthig. \(A\) schliesst \(B\) ein, und \(A\) schliesst nicht \(B\) ein. Die vier alten Grundformen \(A, E, J,\) 0 lassen sich mit einiger Modification des Sinnes acceptiren. Auch De Morgan’s acht Urtheile können verwerthet werden; doch ist es in diesem Falle richtiger, die Particularität auch auf das Prädicat zu übertragen, und die Anzahl der Urtheile dadurch zu vermehren. Zur algebraischen Darstellung der Schlüsse und Urtheile dienen sechs verschiedenartige Zeichen: 1) die Buchstaben für Begriffe und Urtheile, 2) \(\therefore\) Zeichen der folgerung, 3) \(-<,=,>,<,\asymp\) Zeichen der Copula, 4) \(-\) Zeichen der Verneinung, 5) \(\smile\) Zeichen der Particulartät, 6) die mathematischen Klammern zur Zusammenfassung. Aus der Indentität der Relation der Copula im Urtheile mit der der Folgerung im Schlusse entspringt die Algebra der Syllogistik. Aus einigen wenigen Urtheils- und Schlussformen lassen sich vermöge der Transitivität der Copula und mit Hilfe der Elimination von Begriffen alle übrigen ableiten (§3). Es ergeben sich auseinander die Grundsätze des Denkens, einzelne Modi der vier bekannten Schlussfiguren, eine Reihe neuer Modi. Wir haber hiermit eine erweiterte Syllogistik, die von einigen Grundannahmen ausgehend mathematisch deducirend fortschreitet, aber die übersichtliche Form der gewöhnlichen Syllogostik nicht besitzt.
Capitel 2. Nichtrelative Begriffe sind Begriffe, die ausser Beziehung zu anderen gedacht werden. Es handelt sich in einer Logik nichtrelativer Begriffe darum, Begriffe im Subject und Prädicat eines Urtheils zusammenzusetzen oder zu trennen, und die neu entstehenden Verhältnisse zwischen Subject und Prädicat zu ermitteln, mithin um das, was Boole in seiner logischen Functionslehre durch einen Calcul schon bestimmt hat. Die Verbindung der Individualbegriffe zu allgemeinen Begriffen ist logische Addition; die Verbindung der einfachen Merkmale zu zusammengesetzten Begriffen ist logische Multiplication. Die Gesetze dieser Operationen darzustellen sind neue Zeichen erforderlich, nämlich: 7) \(\infty\) Zeichen der Möglichkeit, 8) 0 Zeichen der Unmöglichkeit, 9-10) \(+\times\) Zeichen der Addition und Multiplication, 11-13) \(\varphi\varSigma\varPi\) Functions,- Summen- und Productzeichen. Die Gesetze der logischen Addition und Multiplication decken sich nicht völlig mit den entsprechenden rein arithmetischen Sätzen; z. B. ist in der Logik \(a=a+a\); \((a\cdot b)+c=(a+c)(b+c)\) etc. Der wichtigste Satz in der Logik der Non-relativa ist: \(\varphi x=(\varphi\infty x)+(\varphi 0 \bar{x})\) oder \(=(\varphi 0+x)\cdot(\varphi\infty + \bar{x})\). Die Methode zur Lösung von Problemen, die sich aus den Formeln ergiebt, ist folgende: Man zerlege Subject und Prädicat in so viel Summanden und Factoren als möglich, zerlege die zusammengesetzten Sätze in einfache, eliminire diejenigen Begriffe, auf deren Verhältnis es nicht ankommt, bringe alle Begriffe bis auf einen in’s Subject oder Prädicat, oder auch alle in’s Subject, wobei das Prädicat 0 wird, oder auch alle in’s Prädicat, wobei das Subject \(\infty\) wird, und beachte schliesslich, dass alle Sätze, die ein gemeinsames Subject oder Prädicat haben, sich durch Multiplication oder Addition zusammenziehen lassen.
In Capitel III. beschäftigt sich Peirce mit der Logik der relativen Begriffe. Dies Gebiet ist der Syllogistik verwandt. Die Grundlage zu einer Algebra relativer Begriffe bildet der Gedanke, dass jedes allgemeine Relativ als eine Summe von Individualrelativen oder als ein Product einfacher Relativa aufgefasst werden kann. In jeder Relation ist das erste Glied, Relatum, von den übrigen, Correlata, zu unterscheiden. Durch Vertauschung von Relatum und Correlaten lässt sich aus einer Relation eine oder eine Anzahl neuer Relationen ableiten. Zur Bezeichnung der Relationen verwendet Peirce 14) das Zeichen \(:.\) Eine Algebra der relativen Begriffe ergiebt sich aus dem Problem von zwei gegebenen Relationen, die in einem Gliede übereinstimmen, eine neue abzuleiten. Die hierzu erforderlichen Operationen werden relative oder externe Multiplication, regressive Involution, progressive Involution und Transaddition genannt. Mit der Aufstellung der Formeln für diese Operationen schliesst die unvollendete Abhandlung Peirce’s.
In der Arbeit Peirce’s, wie in ähnlichen seiner Vor- und Mitarbeiter, zeigt sich viel Scharfsinn und sorgfältiger Fleiss; dass aber die Logik allzuviel durch eine solche Verfeinerung und Verschärfung gewinnt, möchte sehr zweifelhaft sein. Eine Erweiterung liegt ja allerdings in der Behandlung der relativen und nichtrelativen Begriffe; die Fesseln der Syllogistik werden durchbrochen; die alten Formen werden durch neue ersetzt, die Aufgaben umfassender gestellt und gelöst: aber hierbei geht auch wieder die einfachere Systematik zu Grunde. Das Schlussverfahren gewährt den Eindruck, den man von der Lösung quadratischer Gleichungen mit mehreren Unbekannten empfängt. Die Logik verlangt doch wohl heutzutage mehr eine andersartige Erweiterung. Eine Ableitung aller vorhandenen Denkbeziehungen ist eine dringende Aufgabe, zu deren Lösung die algebraische Logik keinen Beitrag liefern kann.

MSC:
03G05 Logical aspects of Boolean algebras
03G25 Other algebras related to logic
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