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On the simple \(\mathbb Z_2\)-homotopy types of graph complexes and their simple \(\mathbb Z_2\)-universality. (English) Zbl 1169.57022

In den letzten Jahren sind erfolgreich topologische Methoden weiter entwickelt worden, um die chromatische Zahl endlicher Graphen zu bestimmen. Es sei dafür über den stimulierenden Artikel von J. Matoušek und G. M. Ziegler [Jahresber. Dtsch. Math.-Ver. 106, No. 2, 71–90 (2004; Zbl 1063.05047)] verwiesen. Aus den Nachbarschaftsverhältnissen eines Graphen kann man verschiedene Simplizialkomplexe ableiten (Umgebungskomplex, Box-Komplex, Homomorphismen-Komplex und Lovász-Komplex). Außer dem erstgenannten tragen sie eine freie \(\mathbb{Z}_2\)-Aktion, die dazu dient, für Abschätzungen/Bestimmungen der chromatischen Zahl den Satz von Borsuk-Ulam heran zu ziehen.
In der vorliegenden Arbeit wird gezeigt, dass die genannten Komplexe alle denselben einfachen Homotopietyp haben, und, wenn der Umgebungskomplex nicht beteiligt ist, auch \(\mathbb{Z}_2\)-äquivariant. Ferner wird gezeigt, dass für einen Simplizialkomplex mit freier Aktion immer ein endlicher Graph existiert, der diesen einfachen Homotopietyp erzeugt.

MSC:

57Q10 Simple homotopy type, Whitehead torsion, Reidemeister-Franz torsion, etc.
05C10 Planar graphs; geometric and topological aspects of graph theory
55P10 Homotopy equivalences in algebraic topology

Citations:

Zbl 1063.05047
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