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On the instability of jets. (English) JFM 11.0685.01
Der Verfasser untersucht, welche Abweichungen von der Gleichgewichtslage bei einem Flüssigkeitsstrahl durch eine gegebene Störung hervorgerufen werden. Im ersten Theile werden störende Kräfte von statischer Natur (wie die Capillarität) in’s Auge gefasst und dabei wird von der Translation der ganzen Flüssigkeitsmasse abstrahirt. Der Gang der Untersuchung ist folgender: Durch die störenden Kräfte habe die Flüssigkeitsmasse, die ursprünglich einen Kreiscylinder bildete, eine andere Gestalt angenommen, so dass zur Zeit \(t\) ihre Gleichung \[ r= a+\alpha \cos (kz). \] Hier ist \(k =\frac{ 2 \pi}{\lambda}\), \(\alpha\) eine kleine von der Zeit abhängige Grösse, \(z\) die Cylinderaxe, \(a\) der ursprüngliche Cylinderradius. Mit Vernachlässigung höherer Potenzen von \(\alpha\) ergiebt sich daraus die Vergrösserung der Oberfläche und weiter die durch die Formänderung entstehende Vermehrung der Oberflächenspannung (die potentielle Energie der störenden Kräfte). Andrerseits wird für das Geschwindigkeitspotential gesetzt \[ \varphi =A. J_0 (ikr) \cos (kz), \] wo \(J_0\) die Bessel’sche Function, \(i =\sqrt{ -1} \) ist. Damit dies Geschwindigkeitspotential die obige Bewegung der Flüssigkeitsoberfläche darstellt, muss \[ ik AJ_0' (ika) =\frac{ d\alpha}{ dt} \] sein. Aus \(\varphi\) folgt nun die kinetische Energie der Bewegung, und da die Summe beider Energien verschwinden muss, ergiebt sich: \[ \left( \frac{1}{ \alpha} \frac{ d \alpha}{ dt} \right)^2 =C \frac{ (1- k^2 a^2 ) ika J_0' (ika) }{ J_0 (ika) } . \] Diese Grösse ist das Mass für die Abweichung vom Gleichgewicht. Sie ist ein Maximum für \(k^2 a^2 =0, 4858.\)
Im zweiten Theile werden Störungen betrachtet, die bei discontinuirlichen Flüssigkeitsbewegungen eintreten. Es sei innerhalb der Flüssigkeit die Ebene \(z=0\) eine Trennungsfläche derart, dass zu beiden Seiten dieser Ebene verschiedene Geschwindigkeiten stattfinden, während der Druck derselbe ist. Durch störende Kräfte ändert sich die Form der Trennungsfläche derart, dass jeder Punkt derselben eine Verrückung \(h\) erfährt: \[ h= H e^{ int} e^{ikx}. \] Es wird das dieser Bewegung entsprechende Geschwindigkeitspotential (das natürlich ebenfalls discontinuirlich ist) aufgestellt. Die Bedingung, dass der hydrodynamische Druck noch zu beiden Seiten der neuen Trennungsfläche derselbe sein soll, ergiebt für \(n\) die Gleichung \[ \sigma (n+ kv)^2 +\sigma' (n+ kv')^2 =0, \] wenn \(\sigma\) und \(\sigma'\) die Dichtigkeiten, \(v\) und \(v'\) die Geschwindigkeiten zu beiden Seiten der ursprünglichen Trennungsfläche bedeuten. Mit \(n\) hat man ein Mass für die Abweichung von der Gleichgewichtslage. Das Problem wird durch besondere Annahmen über \(\sigma, \sigma' , v, v'\), resp. durch Annahmen über die äussere Begrenzung specialisirt. Endlich wird die analoge Bedingung für den Fall entwickelt, dass die ursprüngliche Trennungsfläche ein Kreiscylinder statt einer Ebene ist.

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