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On the seventh order transformation of elliptic functions. (Ueber die Transformation siebenter Ordnung der elliptischen Functionen.) (German) JFM 11.0297.01
Nachdem der Herr Verfasser in der früheren Abhandlung: “Die Transformation der elliptischen Functionen etc.”, (Clebsch Ann. XIV. 111; siehe F. d. M. X. 1878. 69, JFM 10.0069.01), die Modulargleichung \(8^{\text{ten}}\) Grades in einfachster Form aufgestellt, und später (siehe das vorhergehende Referat, JFM 11.0296.01) die zugehörige Resolvente \(7^{\text{ten}}\) Grades untersucht hat, löst er hier die Aufgabe, für die Transformation \(7^{\text{ter}}\) Ordnung die Galois’sche Resolvente \(168^{\text{ten}}\) Grades in zweckmässigster Form zu bilden, und von ihr aus jene niederen Gleichungen zbzuleiten. Benutzt werden gewisse Eigenschaften der Wende- und Doppeltangenten der Curve \[ f=\lambda^3\mu +\mu^3\nu +\nu^3\lambda =0, \] bei welcher ein System von Berührungscurven \(3^{\text{ter}}\) Ordnung mit grader Characteristik ausgezeichnet ist. Es werden hier Darstellungen durch Figuren benutzt, welche für die Transformation \(7^{\text{ter}}\) Ordnung eine analoge Bedeutung haben, wie das Ikosaeder für den Fall \(n=5\).

MSC:
11F11 Holomorphic modular forms of integral weight
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References:
[1] Siehe namentlich:Weber, Theorie der Abel’schen Functionen vom Geschlecht p=3 (Berlin, 1876).
[2] Siehe Brill und Nöther: Ueber die algebraischen Functionen und ihre Anwendung in der Geometrie, diese Annalen Bd. VII.
[3] In der Anfzählung aller endlichen Gruppen ternärer linearer Substitutionen, welche Camille Jordan gegeben hat (Borchardt’s Journal Bd. 84) scheint diese Gruppe übersehen zu sein. [Wie mir Hr. C. Jordan mittheilt, befindet sich der Fehler auf S. 167 der genaunten Arbeit, Z. 8 v. u., indem \(\Omega\) daselbst nicht durch 9 sondern nur durch 3 dividirbar zu sein braucht. (Dec. 1878)].
[4] Wegen der Jacobi’schen Gleichungen achten Grades vergl. eine Notiz von Brioschi in den Rendiconti del Istituto Lombardo von 1868 (erläutert von Jung und Armenante im 7ten Bande des Giornale di Matematiche, pag. 98 ff.), sowie eine im Texte noch nicht verwerthete Bemerkung am Schlusse meiner wiederholt citirten Erlanger Note. Ich hoffe bald ausführlicher auf den Gegenstand zurückkommen zu können. (Vergl. auch die neuerdings erschienene Arbeit Brioschi’s: Sopra una classe di equazioni modulari, Annali di Matematica, t. IX. [Dec. 1878]).
[5] Siehe Zeuthen, sur les différentes formes des courbes du quatrième ordre, diese Annalen Bd. VII.
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