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Numerical analysis of ordinary differential equations. Initial value problems and boundary value problems. (Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen. Anfangs- und Randwertprobleme.) (German) Zbl 1097.65076
München: Oldenbourg Verlag (ISBN 3-486-27606-9/hbk). xi, 446 p. (2004).
Das vorliegende Werk ist ein Lehrbuch zur numerischen Behandlung gewöhnlicher Differentialgleichungen. Besonders herauszustellen ist dabei, dass neben Anfangswertproblemen in gleichem Umfang auch Randwertprobleme (RWPe) ausführlich behandelt werden. Folglich geht es auf die wichtigsten Integrationsmethoden für Anfangswertprobleme, als auch die relevantesten integrativen Verfahren zur Lösung von Randwertproblemen auf Basis zugeordneter Anfangswertprobleme ein. Die Konstruktion der jeweiligen Verfahrensklassen wird gründlich herausgestellt, deren Vor- und Nachteile diskutiert, sowie anhand von numerischen Beispielen illustriert. Des Weiteren findet man Hinweise auf verfügbare Software-Routinen, etwa innerhalb von MATLAB.
Der Umfang des dargebotenen Stoffes übersteigt den Rahmen einer einsemestrigen Vorlesung, wie etwa der “Numerik II” an deutschen Universitäten. Allerdings sollte es für Dozenten kein Problem darstellen, den für eine Vorlesung adäquate Stoffmenge zu extrahieren. Darüber hinaus kann das Buch gut zur Vertiefung und als Monographie eingesetzt werden – etwa für Naturwissenschaftler und Ingenieure in der Praxis. Vorausgesetzt werden lediglich Grundkenntnisse aus Analysis, linearer Algebra und numerischer Mathematik (Behandlung linearer algebraischer Gleichungsysteme), wie sie im Rahmen des Grundstudiums erworben werden. Auf Übungsaufgaben wurde verzichtet.
Das Buch besteht aus zehn Kapiteln, ergänzt durch vier Anhänge. Im Wesentlichen kann es in zwei Teile gegliedert werden, welche sich mit Anfangs- bzw. Randwertproblemen für gewöhnliche Differentialgleichungen beschäftigen.
Der Teil über Anfangswertprobleme stellt in Kapitel 1 zunächst erforderliche Grundlagen über Differential- und Differenzengleichungen vor, wie auch die Begriffe des numerischen Diskretisierungsverfahrens und -fehlers. Die numerische Analyse von Einschrittverfahren bildet den Kernpunkt des zweiten Kapitels. Hierbei werden Runge-Kutta-Verfahren (auch vom Kollokations-Typ), wie auch Extrapolationsverfahren behandelt; dazwischen findet man u.a. Ausführungen zu Konvergenz und Konsistenz, der Entwicklung des globalen Fehlers und zur Schrittweitensteuerung. Entsprechende Betrachtungen zu linearen Mehrschrittverfahren finden sich in Kapitel 3, insbesondere hinsichtlich wichtiger Konzepte wie Wurzelstabilität und Konvergenz, wie auch zu Startprozeduren und Algorithmen mit variabler Schrittweite und Ordnung. Das folgende Kapitel 4 diskutiert den Begriff einer steifen Differentialgleichung, wobei wie üblich zwischen Steifheitsbegriffen für lineare und nichtlineare Gleichungen unterschieden wird. Als adäquate numerische Löser werden BDF-Verfahren und Runge-Kutta-Rosenbrock-Verfahren vorgestellt. Schließlich wird in Kapitel 5 außerdem auf, lineare Ein- und Mehrschrittverfahren beinhaltende, allgemeine lineare Verfahren eingegangen, wie auch auf Fast-Runge-Kutta-Verfahren.
Den zweiten Teil über Numerik von Zweipunkt-Randwertproblemen einleitend, behandelt Kapitel 6 grundlegende theoretische Konzepte zur Existenz von Lösungen und den Begriff der Greenschen Funktion; ferner wird aber auch auf Stabilität, Dichotomie und Kondition von RWPen eingegangen. Numerische Lösungsmethoden auf der Basis von Einfach-Schießtechniken beinhaltet Kapitel 7, inklusive der Methoden der komplementären Funktionen und der Adjungierten, sowie zweiseitiger Schießverfahren; dabei werden auch nichtlineare Probleme behandelt. Mehrfach-Schießtechniken stehen im Mittelpunkt von Kapitel 8, wobei deren Stabilität, effektive Behandlung (mittels Kompaktifikation) und stabilisierende Transformationen untersucht werden. Das Kapitel 9 verallgemeinert die bisherige Randwert-Problematik und beschäftigt sich mit Eigenwertproblemen und singulären RWPen. Zum Abschluss findet man in Kapitel 10 Auführungen zur Existenz und Implementierung von exakten Differenzenschemata.
Die ersten drei Anhänge beinhalten grundlegende Begriffe und Resultate aus der linearen Algebra, der Theorie von Anfangswertproblemen für gewöhnliche Differentialgleichungen, sowie zur Interpolation und numerischen Integration. Der abschließende Anhang stellt Verfahren zur numerischen Lösung nichtlinearer algebraischer Gleichungssysteme vor, wobei auf die Methoden von Newton, Brown und Brent (auch in der verallgemeinerten Variante) eingegangen wird.

MSC:
65Lxx Numerical methods for ordinary differential equations
65-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to numerical analysis
34A34 Nonlinear ordinary differential equations and systems, general theory
34B15 Nonlinear boundary value problems for ordinary differential equations
Software:
Matlab
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