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Proof of the prime power conjecture for projective planes of order \(n\) with abelian collineation groups of order \(n^2\). (English) Zbl 1004.51012
Die Verfasser beweisen den folgenden Satz: Es sei \(G\) eine abelsche Gruppe von Kollineationen, die auf einer projektiven Ebene \(E\) der Ordnung \(n\) wirkt und die Ordnung \(n^2\) hat. Dann ist \(n\) eine Primzahlpotenz \(p^a\). Gilt \(p>2\), so ist der \(p\)-Rang von \(G\) mindestens \(a+1\). Die Ebene \(E\) ist eine Translationsebene, eine duale Translationsebene (in diesen Fällen ist \(G\) elementar abelsch), oder in \(E\) gibt es ein inzidentes Punkt-Geraden-Paar \((p,L)\), so dass \(G\) in \(E\) genau die drei folgenden Punktbahnen hat: den Punkt \(p\), die Punktmenge \(L\setminus \{p\}\) und die restlichen Punkte.

51E15 Finite affine and projective planes (geometric aspects)
05B10 Combinatorial aspects of difference sets (number-theoretic, group-theoretic, etc.)
Full Text: DOI
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