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The structure of functions. (English) Zbl 0984.46021
Monographs in Mathematics. 97. Basel: Birkhäuser. xii, 425 p. (2001).
Dieses Buch ist Funktions- und Distributionsräumen gewidmet. Man findet hier die Ergebnisse des Verfassers und seiner Mitarbeiter aus den letzten Jahren.
Um die Niederschrift nicht ausufern zu lassen, hat sich der Verfasser auf \(B\)- and \(F\)-Räume beschränkt, Verweise auf andere Raumtypen und andere Resultate findet man in Kommentaren und Noten am Ende vieler Abschnitte \(B\)- und \(F\)-Räume sind in der Literatur unter vielen Namen bekannt. Beispiele: Besov, Calderon, Hölder, Lizorkin, Schauder, Triebel, Zygmund u.a.
Im ersten grundlegenden Kapitel studiert der Verfasser Fourier-ähnliche Zerlegungen der Funktionen (und Distributionen) aus den \(B\)- und \(F\)-Räumen. Es werden atomare und feinere Zerlegungen in Quarks angegeben. Eine Funktion wird jetzt durch ihre Zerlegungskoeffizienten charakterisiert, ein Funktionenraum geht über in einen (isomorphen) Folgenraum, eine Funktionsnorm geht über in eine (äquivalente) Folgennorm. Der Vorteil ist offenkundig, Folgenräume und Folgennormen lassen sich besser analytisch handhaben. Und so kann der Verfasser im zweiten Kapitel scharfe Einbettungstheoreme für die Räume \(B^s_{pq}\) und \(F^s_{pq}\) beweisen, scharf bezüglich der Exponenten \(s\), \(p\), \(q\); der Verfasser nennt sie “scharfe Ungleichungen”. In einigen Fällen sind die “scharfen” Exponentenbedingungen auch notwendig und hinreichend für stetige Einbettungen. Im zweiten Kapitel findet man auch die vom Verfasser und Frau Haroske entwickelte Theorie der Einhüllenden. Diese Theorie erlaubt es, die sogenannten “Hardyungleichungen” weitgehend zu verallgemeinern und ihnen einen abstrakten Rahmen zu geben. Die üblichen Hardy’schen, Zygmund’schen u.a. Ungleichungen gewinnt man dann einfach durch Konkretisierungen.
Der Folgenraumansatz eignet sich hervorragend dazu, um \(B\)- und \(F\)-Räume auf regelmäßigen Gebieten \(\Omega\) zu betrachten. Hier kann \(\Omega\) eine fraktale oder allgemeiner eine kompakte \(d\)-Menge sein.
Der Verfasser baut auf diesen Mengen \(\Omega\), die für elliptische u.a. Differentialgleichungen notwendige (\(B\)- und \(F\)-Norm) Theorie auf: Stetige Einbettungen, kompakte Einbettungen (Abschätzungen der Entropiezahlen) Spuroperatoren und Erweiterungsoperatoren. u.s.f. Diese Vorkenntnisse erlauben es dem Verfasser, das Verhalten des Laplaceoperators \(\Delta\) (und allgemeiner des Laplace-Beltramioperators) auf \(d\)-Mengen \(\Omega\) genau zu studieren. Er beweist Existenz- und Eindeutigkeitssätze und untersucht das Eigenwertspektrum. Fraktale Mengen können durch die Angabe eines Radonschen Maß es \(\mu\) genauer charakterisiert werden. Ein solches Maß \(\mu\) heißt Weylsch, wenn das Wachstum der Eigenwerte \(\varrho_k\) Weylsch ist: \(\varrho_k\sim k^{-1+{n-2\over d}}\), \(k\to\infty\). Insbesondere ist auf der Ebene \(n= 2\) das Weylsche Verhalten durch \(\varrho_k\sim k^{-1}\) charakterisiert. Verfasser zeigt, dass sich weite Klassen von Radonschen Maßen \(\mu\) Weylsch verhalten und er gibt auch einige notwendige Bedingungen für dieses Verhalten an. Als Beispiel behandelt der Verfasser Hydrogen-ähnliche Operatoren in einem hyperbolischen Räume, \(n= 3\), und zeigt, dass man die fraktale \(d\)-Zahl des Weltrandes physikalisch aus der Wasserstoffstrahlung berechnen kann. Atomstrahlung hat also auch was Gutes!
lm letzten Kapitel behandelt der Verfasser nichtlineare Gleichungen vom Typus \[ (-\Delta+ id) u(x)= c|u(x)|+ h(x),\quad x\in\mathbb{R}^n, \] und studiert Regularitätsfragen.
Reviewer: Josef Wloka (Kiel)

MSC:
46E35 Sobolev spaces and other spaces of “smooth” functions, embedding theorems, trace theorems
46-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to functional analysis
28A80 Fractals
42C40 Nontrigonometric harmonic analysis involving wavelets and other special systems
47B06 Riesz operators; eigenvalue distributions; approximation numbers, \(s\)-numbers, Kolmogorov numbers, entropy numbers, etc. of operators
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