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Four-dimensional compact projective planes of orbit type (1,1). (English) Zbl 0947.51011

Die Arbeit ist ein Beitrag zur Klassifikation vierdimensionaler kompakter projektiver Ebenen. Das Bestreben der Salzmann-Schule ist es, alle solchen Ebenen zu bestimmen (sie werden flexibel genannt), deren Kollineationsgruppe \(\Gamma\) im Raum der Fahnen eine offene Bahn hat. Die Gruppe \(\Gamma\) ist dann eine mindestens sechsdimensionale Liegruppe.
Die Verfasser behandeln den Fall, daß die Zusammenhangskomponente \(\Delta\) von \(\Gamma\) sechsdimensional und auflösbar ist, denn die vierdimensionalen Ebenen mit einer nichtauflösbaren sechsdimensionalen Lieschen Kollineationsgruppe sind alle bekannt [vgl. R. Löwen, Geom. Dedicata 36, No. 2/3, 225-234 (1990; Zbl 0712.51011)]. Die auflösbare sechsdimensionale Liegruppe \(\Delta\) läßt in der flexiblen projektiven Ebene \(E\) eine Fahne \((\infty,W)\) invariant [D. Betten, J. Geom. 42, No. 1/2, 30-40 (1991; Zbl 0745.51009)]. Die Verfasser nehmen zusätzlich an, daß \(\Delta\) sowohl auf der Fixgeraden \(W\) als auch auf dem Büschel der Geraden durch den Fixpunkt \(\infty\) eine eindimensionale Bahn hat. Unter diesen Voraussetzungen zeigen sie zunächst, daß \(\Delta\) ein semidirektes Produkt ihres nilpotenten vierdimensionalen Radikals mit einem zweidimensionalen Komplement \(\Phi\) ist. Die Struktur von \(N\) ist für alle betrachteten Ebenen dieselbe, die Gruppen \(\Delta\) haben drei verschiedene Isomorphietypen. Die Verfasser zeigen, daß es zu jedem dieser Isomorphietypen genau eine Familie von Ebenen gibt, auf der dieser Typus als Kollineationsgruppe operiert und beschreiben diese Ebenen mit Hilfe von Koordinaten.

MSC:

51H10 Topological linear incidence structures
51H20 Topological geometries on manifolds
51A35 Non-Desarguesian affine and projective planes
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References:

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