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Common fixed points of nonlinear contractions. (English) Zbl 0918.47045
In der vorliegenden Arbeit werden Paare von Selbstabbildungen eines vollständigen metrischen Raumes betrachtet und hinreichende Bedingungen vom Kontraktionstyp angegeben, die die Existenz und Unität eines gemeinsamen Fixpunktes sichern. Ist \(\Phi\) die Menge aller Funktionen \(\varphi:[0,\infty)\to[0,\infty)\), die rechtsseitig stetig sowie nicht fallend sind und der Bedingung \(\varphi(t)<t\) für alle \(t>0\) genügen, so lautet das Hauptergebnis der Arbeit (Th. 2.1.):
“Es sei \((X,d)\) ein vollständiger metrischer Raum und \(S\), \(T\) seien Selbstabbildungen von \(X\), die der folgenden Kontraktionsbedingung genügen: \[ \begin{split} d(S(T(x)), T(S(y)))\\ \leq \text{Max}\{\varphi_1(1/2(d(x,S(y))+d(y,T(x)))), \varphi_2(d(x,T(x))), \varphi_3(d(y,S(y))), \varphi_4(d(x,y))\} \end{split} \] für alle \(x\), \(y\) aus \(X\) und gewisse \(\varphi_k\in \Phi\) für \(k=1,2,3,4\). Ist eine der beiden Abbildungen \(S\), \(T\) stetig, so haben \(S\) und \(T\) genau einen gemeinsamen Fixpunkt (es gibt genau ein \(p\) in \(X\) mit \(T(p)=S(p)= p)\).”
Der Beweis beruht auf der sorgfältigen Untersuchung der “Wechseliterationsfolge” \((x_n):x_0\in X\) sei gegeben, dann sei \(x_1=T(x_0)\), \(x_2=S(x_1)\), \(x_3=T(x_2)\), \(x_4=S(x_3),\dots\); von der die Cauchyfolgen-Eigenschaft nachgewiesen wird. Der bewiesene Satz verallgemeinert ein einschlägiges Resultat von B. Fisher [Acta Math. Acad. Sci. Hung. 34, 289-292 (1979; Zbl 0417.54018)] und ist sicher geeignet für weitere Anwendungen von Fixpunktsätzen auf Operatorgleichungen.

MSC:
47H10 Fixed-point theorems
47J25 Iterative procedures involving nonlinear operators
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