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On the number of ideal classes in various orders of a field of finite degree. (Ueber die Anzahl der Idealklassen in den verschiedenen Ordnungen eines endlichen Körpers.) (German) JFM 09.0130.01
Festschrift der Techn. Hoschschule in Braunschweig zur Säkularfeier des Geburtstages von C. F. Gauß. Braunschweig: Vieweg. 1-55 (1877).
Im Anfange der Arbeit werden die eben besprochenen Principien der Lehre von den Idealen zusammengestellt. Bemerkenswerth ist daraus die Bedeutung, in welcher die algebraischen Zeichen benutzt werden; \(\mathfrak a>\mathfrak b, \mathfrak b<\mathfrak a\) drücken aus, dass \(\mathfrak a\) ein Vielfaches von \(\mathfrak b\) sei; durch \(\mathfrak a+b=d, a-b=m\) wird der grösste gemeinsame Theiler \(\mathfrak d\) und das kleinste gemeinsame Vielfache \(\mathfrak m\) von \(\mathfrak a\) und \(\mathfrak b\) bezeichnet. Es wird dadurch der Ausdruck sehr vereinfacht. Häufig werden bei den Beweisen die beiden Formeln gebraucht: \[ \begin{matrix} (\mathfrak a+b)-(a+c)=a+(b-(a+c)) \\ (\mathfrak a-b)+(a-c)=a-(b+(a-c)). \end{matrix} \] Ist nun \(\mathfrak a\) ein beliebiger Modul eines endlichen Körpers \(\varOmega\), so bildet das Systems \(\mathfrak o'\) aller Zahlen \(\omega'\), für die \(\mathfrak ao'>a\) wieder einen Modul \(\mathfrak o'\), welcher die \(Ordnung\;von\;a\) heisst; \(\mathfrak o'\) enthält alle rationalen ganzen Zahlen, d. h. \([1]>\mathfrak o'\); ferner ist \(\mathfrak o^{\prime 2}=o'\). Umgekehrt ist jeder Modul \(\mathfrak o'\), der ein Theiler von [1] und von \(\mathfrak o^{\prime 2}\) ist, eine Ordnung. Unter den durch \(\mathfrak o'\) theilbaren Idealen giebt es ein einziges \(k\) von kleinster Norm; dies heisst der Führer der Ordnung \(o'\). Wenn nun ein Modul \(\mathfrak a\) die beiden Eigenschaften hat, dass I. \(\mathfrak o'a'=a'\), II. \(\mathfrak a'\)+\(k\)=\(\mathfrak o'\) ist, so heisst \(\mathfrak a'\) \(ein\;Ideal\;in\;\mathfrak o'\). Die Ideale in \(\mathfrak o'\) und die zu \(k\) relativen Primideale in \(\mathfrak o\) stehen in Correspondenz, so dass wenn \(\mathfrak a'\) ein Ideal in \(\mathfrak o'\) ist, \(\mathfrak oa'\) ein zu \(k\) relatives Primideal in \(\mathfrak o\) wird; und umgekehrt: Ist \(\mathfrak a\) ein zu \(k\) relatives Primideal in \(\mathfrak o\), so ist \(\mathfrak a'=o'-a\) ein Ideal in \(\mathfrak o'\), für welches \(\mathfrak a'o=a\) wird. Aehnlich wie in \(\mathfrak o\) kann man die Ideale \(\mathfrak a', b', c', \ldots\) in \(\mathfrak o'\), zu einer Klasse rechnen, falls es ganze Zahlen \(\mu, \nu, \ldots\) giebt, für die \(\mathfrak a'=\) \(\mu\) \(\mathfrak b'=\) \(\nu\) \(\mathfrak c'=\cdots\) ist; alle mit \(\mathfrak o'\) zu einer Klasse gehörigen Ideale bilden die Hauptklasse in \(\mathfrak o'\). Die Composition der Idealclassen in \(\mathfrak o'\), so dass wenn \(\mathfrak a', a; b', b\); in \(\mathfrak o', o\) entsprechende Ideale sind, die Classe, zu welcher \(\mathfrak a'b'\) gehört derjenigen entspricht, zu welcher \(\mathfrak ab\) gehört. Jeder Classe in \(\mathfrak o'\) entspricht in Folge der obigen Beziehung zwischen den Idealen eine einzige in \(\mathfrak o\); umgekehrt entspricht mindestens eine in \(\mathfrak o\) einer bestimmten in \(\mathfrak o\). Diese Anzahl \(m\) hängt nur von der Ordnung \(\mathfrak o'\) ab, ist also für alle Idealclassen in \(\mathfrak o'\) dieselbe; ist daher die Anzahl der Classen in \(\mathfrak o,o'\) bezüglich \(h, h'\), so wird \(h':h=m\). Die Bestimmung dieses Verhältnisses der Klassenangaben \(h'\) und \(h\) ist die Hauptaufgabe der Arbeit. Bezeichnet man mit \(\psi(k)\) die Anzahl aller den in \(\mathfrak o\) enthaltenen Zahlen \(\omega\), welche incongruent und relativ prim (mod. \(k\)) sind, so findet man \(m=\psi(k):(\psi'(k))\). Hierbei drückt \(\psi'(k)\) die Anzahl derjenigen durch \(\psi(k)\) repräsentirten Klassen aus, welche in \(\mathfrak o'\) vorkommen. Ist \(\mathfrak o'\) und mit ihm also auch \(k\) gegeben, so müssen \(\psi, \psi'\) als bekannt gelten; die Frage ist dadurch auf diejenige der Bestimmung von \(s\) reducirt. Gelöst wird dieselbe einmal nach der von Gauss in den Disquisitiones angewendeten Methode zur Bestimmung des Verhältnisses \(h(D):h(D')\), und dann mit Hülfe der von Dirichlet aufgestellten Principien. Im ersteren Falle werden die (im X. Supplemente der zweiten Auflage von Zahlentheorie §166 auseinandergesetzten) Resultate der Theorie der Einheiten benutzt; die Schlussformel tritt in enge Beziehungen zu den Fundamentalsystemen unabhängiger Einheiten in \(\mathfrak o'\) und in \(\mathfrak o\). – Die Beziehung in welcher die Ideale einer beliebigen Ordnung zu den zerlegbaren Formen der Körpers \(\varOmega\) stehen, wird in einem besonderen Paragraphen auseinandergesetzt und durch das Beispiel quadratischer Körper erläutert.

MSC:
11R04 Algebraic numbers; rings of algebraic integers
11R21 Other number fields
11R29 Class numbers, class groups, discriminants
11R27 Units and factorization
11R99 Algebraic number theory: global fields