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About the resolution of the equation of degree five. (Ueber die Auflösung der Gleichungen fünften Grades.) (German) JFM 09.0068.01
Erl. Ber. 1877. Juli (1877).
Wir benutzen die eben eingeführten Bezeichnungen. Der Herr Verfasser setzt \[ p_1=-5\eta_1\zeta_1, p_2=+5\eta_2\zeta_1, p_3=-5\eta_1\zeta_2, p_4=-5\eta_2\zeta_2; \] dann reducirt sich das Problem der Lösung von \[ y^5+5\alpha y^2+5\beta y+\gamma =0 \] auf das folgende: Es sind die Werthe bekannt, welche die Grundform \[ \alpha=\eta_1^3\zeta_1^2\zeta_2+\eta_1^2\eta_2\zeta_2^3 +\eta_1\eta_2^2\zeta_1^3-\eta_2^3\zeta_1\zeta_2^2 \] und ihre Covarianten \(\beta, \gamma, \varDelta\) für gewisse Werthe von \(\eta_1, \eta_2\) und \(\zeta_1, \zeta_2\) annehmen; man soll den lineo-linearen Ausdruck \[ y_\nu =- \varepsilon^{4\nu}\eta_1\zeta_1+\varepsilon^{3\nu}\eta_2\zeta_1 - \varepsilon^{2\nu}\eta_2\zeta_1+\varepsilon^\nu\eta_2\zeta_2 \] berechnen. Es wird die Ikosaedergleichung aufgestellt von der \(\zeta_1:\zeta_2\) abhängt; dann werden die \(y_\nu\) rational durch \(\zeta_1:\zeta_2\) und die \(\alpha, \beta, \gamma, \varDelta\) dargestellt. Die bei diesen Rechnungen nothwendigen Ausdrücke werden in ihren symbolischen Bildungen gegeben.
MSC:
12E12 Equations in general fields
30C15 Zeros of polynomials, rational functions, and other analytic functions of one complex variable (e.g., zeros of functions with bounded Dirichlet integral)
14L24 Geometric invariant theory