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On the structure of inhomogeneous quantum groups. (English) Zbl 0881.17013
Dans le premier paragraphe de cet article, les auteurs considèrent un groupe quantique non homogène \(G\) construit à partir d’un groupe quantique \(H\) et des translations \(p_i\) correspondants à une représentation irréductible de \(H\). Ils démontrent que les relations de commutations de \(G\) sont données par la structure d’un certain bimodule bicovariant de \(H\). Dans le deuxième paragraphe les auteurs supposent que toutes les représentations de \(H\) sont complètement irréductibles. Ils déterminent alors les relations de commutations entre les fonctions sur \(H\) et les \(p_i\).
Dans le troisième paragraphe, ils supposent de plus que la \(R\)-matrice \(R\) associée à \(G\) verifie \(R^2=1\) ou \((R-Q1)\) \((R+1) =0\) avec \(Q\neq 0\) et n’est pas racine de l’unité. Dans ce cas ils déterminent la forme exacte des relations de commutations et des conditions necessaires et suffisantes permettants de retrouver les coefficients de ces relations. Ils remarquent que ceci suffit pour étudier les groupes quantiques de Poincaré introduits dans [Commun. Math. Phys. 178, 61-82 (1996; Zbl 0869.17010)].
Le quatrième paragraphe est consacré à l’étude des isomorphismes de ces groupes quantiques. A la fin de ce papier, les auteurs prouvent que sous certaines conditions (vérifiées par les groupes quantiques de Poincaré) chaque \(G\) possède exactement un analogue de l’espace de Minkowski.
Reviewer: M.Masmoudi (Metz)

MSC:
17B37 Quantum groups (quantized enveloping algebras) and related deformations
46L85 Noncommutative topology
46L87 Noncommutative differential geometry
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