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Non-commutative stochastic calculus. (Calcul stochastique non-commutatif.) (French) Zbl 0878.60041

Biane, Philippe (ed.) et al., Lectures on probability theory. Ecole d’été de probabilités de Saint-Flour XXIII - 1993. Lectures given at the summer school in Saint-Flour, France, August 18-September 4, 1993. Berlin: Springer-Verlag. Lect. Notes Math. 1608, 1-96 (1995).
Le calcul stochastique non-commutatif s’est développé depuis quelques années à la suite des travaux de Hudson et Parthasarathy, qui ont défini des intégrales stochastiques par rapport à trois “martingales non-commutatives” \(a^+_t\), \(a^-_t\), et \(a^0_t\). Ces trois processus ne sont pas composés de variables aléatoires au sens classique, mais sont des familles d’opérateurs sur l’espace \(L^2\) de la mesure de Wiener. Le théorème spectral permet d’interpréter les combinaisons auto-adjointes de ces opérateurs comme des variables aléatoires, et le fait qu’ils ne commutent pas entre eux, leur permet d’avoir des propriétés remarquables; par exemple, le processus \((a^+_t+ a^-_t)_{t\geq 0}\) s’interprète comme un mouvement brownien ou, plus exactement, chaque opérateur \(a^+_t+ a^-_t\) est l’opérateur de multiplication par la variable aléatoire \(B_t\), où \((B_t)_{t\geq 0}\) est le mouvement brownien canonique sur l’espace de Wiener. D’autre part, pour tout \(z\in\mathbb{C}\), \((a^0_t+ za^+_t+\overline za^-_t+|z|^2t)_{t\geq 0}\) est un processus de Poisson d’intensité \(|z|^2\), au sens où ces opérateurs s’interprètent comme les opérateurs de multiplication définis par un processus de Poisson sur son espace \(L^2\), lorsqu’on a identifié l’espace \(L^2\) de la mesure de Wiener et celui d’un processus de Poisson au moyen des décompositions en chaos. Il est clairement impossible d’obtenir de telles propriétés en utilisant des familles de variables aléatoires au sens habituel du terme. Toutes les notions évoquées ci-dessus seront expliquées en détails dans la suite du cours.
La motivation initiale du calcul stochastique non-commutatif était d’utiliser les techniques d’équations différentielles stochastiques pour résoudre des problèmes de mécanique quantique, mais il s’est avéré que la théorie ainsi développée est intéressante par elle-même et donne un point de vue nouveau sur certains aspects des probabilités classiques. C’est ainsi que la formule d’Itô y apparaît comme intimement liée aux relations de commutation d’Heisenberg qui jouent un rôle fondamental en mécanique quantique. Un sous-produit remarquable de ce calcul stochastique est la possibilité d’obtenir, en principe, tout processus de Markov comme solution d’une équation différentielle stochastique qui a la même structure formelle que celle d’une diffusion, les mouvements browniens qui dirigent l’équation étant remplacés par une version multidimensionnelle des “processus non-commutatifs” \(a^+_t\), \(a^-_t\), et \(a^0_t\) (en fait pour avoir ce résultat en toute généralité il faut affronter des problèmes analytiques qui ne sont pas encore complètement résolus). On verra à la fin du cours des exemples explicites de telles constructions, dont celui des chaînes de Markov en temps continu sur un espace d’état fini, pour lequel la théorie est complète. Il apparaît que ce sont les sauts des processus de Markov qui nécessitent l’introduction de martingales non-commutatives dans l’équation différentielle stochastique.
Le but de ce cours est de présenter, à un public de probabilistes, les bases de cette théorie qui est actuellement en plein développement. L’expérience de plusieurs exposés devant des probabilistes “classiques” m’a appris que l’évocation des “variables aléatoires non-commutatives” avait tendance à plonger l’auditoire dans la perplexité. Ma première tâche va donc être de tenter de démythifier cette notion, et pour cela je vais commencer par évoquer son origine, qui est au coeur de la mécanique quantique.
For the entire collection see [Zbl 0822.00009].

MSC:

60H99 Stochastic analysis
60G60 Random fields
60H07 Stochastic calculus of variations and the Malliavin calculus
60J70 Applications of Brownian motions and diffusion theory (population genetics, absorption problems, etc.)
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