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A network multiplexer with multiple time scale and subexponential arrivals. (English) Zbl 0860.60069
Glasserman, Paul (ed.) et al., Stochastic networks: stability and rare events. Proceedings of the workshop, Columbia, OH, USA, November 3-4, 1995. New York, NY: Springer. Lect. Notes Stat., Springer-Verlag. 117, 215-235 (1996).
Etude asymptotique de la longueur de la file d’attente \(\{Q_t, t>0\}\) définie par: \(Q_{t+1}=(Q_t+A_t-C_t)^+\) où \(A\) et \(C\) représentent resp. arrivées et services. On s’intéresse ici au cas d’arrivées provenant de plusieurs sources à des échelles de temps différentes (ex. transmission video). La pertinence de l’approximation EB (effective bandwidth) est mise en cause: celle-ci correspond à \(P[Q>x]\approx e^{-\theta x}\) mais dans le cas de sources multiples la difficulté provient de ce que la proximité (ponctuelle) de deux processus ne se conserve pas quand on envisage leur distribution cumulée. L’accent est mis ici sur le cas d’arrivées subexponentielles: formellement leur fonction de répartition \(F\) vérifie: \(\lim_{x\to\infty} [1-F^{*2}(x)]/[1-F(x)]=2\) càd que si \(X\) est subexponentielle, pour \(X_1,\dots,X_n\) i.i.d. \(X:P[X_1+\cdots+X_n>x]\sim nP[X>x]\) (il en est ainsi par exemple de la loi de Pareto: \(F(x)=1-(x-\beta+1)^{-\alpha}\) dont la fonction d’autocorrélation permet un bon ajustement à celle de données video observées). Sous certaines hypothèses, est établi en particulier le résultat suivant: \[ P[Q_t>x]\sim(1/({\mathbf E}(C_t)-{\mathbf E}(A_t)))\int^\infty_x P[A_t>u] du\qquad\text{pour } x\to\infty. \]
For the entire collection see [Zbl 0846.00029].

MSC:
60K20 Applications of Markov renewal processes (reliability, queueing networks, etc.)
90B22 Queues and service in operations research
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