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The Campbell-Hausdorff theorem for elliptic operators and a related trace formula. (English) Zbl 0854.35137
Si \({\mathcal B}\) est une algèbre de Banach et \(A,B\in{\mathcal B}\) sont tels que les normes de \(A\)-\(I\) et \(B\)-\(I\) sont assez petites, on a la formule de Campbell-Hausdorff: \[ \log(AB)= \sum_{1\leq k} C^{(k)}(\log A, \log B). \] Le but de ce papier est de prouver un résultat analogue pour des opérateurs \(A\), \(B\) pseudo-différentiels elliptiques sur un fibré vectoriel \(E\) au dessus une variété compacte \(M\). On suppose \(A\) et \(B\) d’ordres \(\geq 0\), aux symboles principaux scalaires et satisfaisant certaines hypothèses techniques, telles que \(\log A\), \(\log B\) soient bien définis en tant qu’opérateurs pseudo-différentiels. Alors pour tout \(k> 1\), \(C^{(k)}(\log A, \log B)\) est un opérateur pseudo-différentiel d’ordre \(1- k\).
Le théorème principal affirme que pour tout \(m\geq 1\), \[ \log(AB)- \sum_{1\leq k\leq m} C^{(k)}(\log A, \log B) \] est un opérateur pseudo-différentiel d’ordre \(-m\). De plus, la trace de cet opérateur est égale à zéro si \(m\leq n+ 1\), \(n= \dim M\).

MSC:
35S05 Pseudodifferential operators as generalizations of partial differential operators
47F05 General theory of partial differential operators (should also be assigned at least one other classification number in Section 47-XX)
58J40 Pseudodifferential and Fourier integral operators on manifolds
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References:
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