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Diophantine geometry on Drinfeld modules. (Géométrie diophantienne sur les modules de Drinfeld.) (French) Zbl 0798.11022
Goss, David (ed.) et al., The arithmetic of function fields. Proceedings of the workshop at the Ohio State University, June 17-26, 1991, Columbus, Ohio (USA). Berlin: Walter de Gruyter. Ohio State Univ. Math. Res. Inst. Publ. 2, 285-302 (1992).
L’auteur propose et étudie dans ce texte des analogues sur les \(t\)- modules des conjectures de Lang-Manin-Mumford (démontrées par G. Faltings). Soient \(k = \mathbb{F}_ q [T]\), \((E,\Phi)\) un \(t\)-module de rang \(d \geq 1\), dimension \(m\) qui est un produit direct de \(m\) copies d’un module de Drinfeld, et \(V\) une sous-variété algébrique de \(E\). Sous une hypothèse galoisienne il montre qu’il existe un nombre fini \(r\) de points de torsion \(\gamma_ i\) et de sous-\(t\)-modules \(B_ i\) de \(E\) tels que \[ V \cap E_{\text{tors}} = \cup_{1 \leq i \leq r} \bigl( \gamma_ i + (B_ i)_{\text{tors}} \bigr). \] Si \(\Gamma\) est un \(\Phi (A)\)-module de type fini de \(E(\overline k)\), il montre, sous une seconde hypothèse galoisienne, que si \(V \cap \Gamma = \cup_{1 \leq i \leq r} (\gamma_ i + B_ i \cap \Gamma)\) il en est de même pour le module \(\overline \Gamma\) des points de division de \(\Gamma\) par \(\Phi (A)\). La démonstration reprend des idées développées par M. Hindry pour le cas abélien usuel.
L’auteur étudie aussi les hypothèses galoisiennes faites, via la théorie de Kummer sur les modules de Drinfeld et les relations de dépendance linéaires sur \(\Phi (A)\) des éléments de \(E(\overline k)\). Interviennent alors des idées de Bashmakov-Ribet, des travaux de Y. Taguchi et l’analogue sur les modules de Drinfeld de la hauteur canonique des variétés abéliennes, qu’il a introduit.
For the entire collection see [Zbl 0771.00031].

MSC:
11G09 Drinfel’d modules; higher-dimensional motives, etc.
14G05 Rational points
14G25 Global ground fields in algebraic geometry
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