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Geometry and recurrent sequences. (Géométrie et suites récurrentes.) (French) Zbl 0795.14008
Loit \(V\) une sous-variété algébrique, \(P\) un point et \(\alpha\) un (endo)morphisme algébrique de \(\mathbb{P}_ n\), définis sur un corps \(K\). L’A. s’intéresse aux ensembles \(E_{V,P,\alpha}= \{i\in\mathbb{N}\); \(\alpha^ i(P)\in V\}\). Disons que \(P\) est dégénéré pour \((\alpha,V)\) s’il existe une sous-variété \(W\subset V\) contenant \(\alpha^{i_ 0}(P)\) et telle que \(\alpha^ a(W) =W\) pour des entiers \(i_ 0\geq 0\) et \(a>0\). L’A. montre que si \(\alpha\) est un automorphisme et \(P\) n’est pas dégénéré pour \((\alpha,V)\) alors \(E_{V,P,\alpha}\) est de cardinal fini lorsque \(K\) est de caractéristique nulle, et de densité supérieure nulle lorsque \(K\) est de caractéristique finie. En fait, l’A. montre que ces énoncés sont équivalents à des théorèmes de Skolem-Mahler-Lech et J.-P. Bézivin respectivement, sur les zéros des suites récurrentes linéaires. Il montre aussi par un exemple que \(E_{V,P,\alpha}\) peut être infini sans que \(P\) soit dégénéré en caractéristique finie.
Dans le cas où \(\alpha\) est un morphisme plat et surjectif, l’A. montre que si \(P\) n’est pas dégénéré pour \((\alpha,V)\) alors pour tout \(\ell\in\mathbb{N}\) il existe des entiers \(r,b>0\) tels que \[ r\leq \max (1, \underbrace{\log\circ\dots\circ \log}_{2\dim V-1} (\ell)) \] et \(ar+b\in E_{V,P,\alpha}\) pour \(0\leq a\leq\ell\). La démonstration s’apparente à celles des lemmes de zéros.

MSC:
14H37 Automorphisms of curves
11G99 Arithmetic algebraic geometry (Diophantine geometry)
11B37 Recurrences
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Full Text: DOI Numdam EuDML
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