×

zbMATH — the first resource for mathematics

Cohen-Macaulay rings. (English) Zbl 0788.13005
Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 39. Cambridge: Cambridge University Press. xi, 403 p. (1993).
La monographie est divisée en trois parties. Dans la première partie sont donnés les concepts de base qui sont utilisés dans les deux suivantes: Les suites régulières, profondeur d’un module et la liaison avec la dimension projective, le complex de Koszul, anneaux et modules gradués (chapitre 1). Les propriétés fondamentales des anneaux et des modules de Cohen-Macaulay, anneaux réguliers, anneaux normaux et anneaux d’intérsection complète (chapitre 2). Dans le troisième chapitre sont étudiés la dimension injective d’un module de type fini, la dualité de Matlis, la dualité de Poincaré, le module canonique, les anneaux de Gorenstein, la cohomologie locale, le théorème local de dualité et le module canonique d’un anneau gradué. Dans le chapitre suivant sont développées les propriétés principales de la fonction de Hilbert d’un module gradué et de la fonction de Hilbert-Samuel.
La deuxième partie contient la théorie des anneaux de Stanley-Reisner des complexes simpliciaux (chapitre 5) où sont démontrés le théorème de Stanley sur la limitation supérieur des sphères simpliciales, des résultats sur les complexes simpliciaux de Gorenstein et le module canonique d’un anneau de Stanley-Reisner. Dans le chapitre 6 les auteurs présentent l’étude des anneaux de la forme \(k[C]\), où \(k\) est un corps et \(C\) un sous-semigroupe de type fini de \(\mathbb{Z}^ n\), la cohomologie locale des anneaux \(k[C]\) et on démontre que si \(k[C]\) est un anneau normal, alors il est de Cohen-Macaulay et on determine le module canonique. Sont étudiés aussi les anneaux des invariants des groupes finis et des groupes réductifs. Dans le dernier chapitre de la deuxième partie sont présentés les aspects principales de la théorie des anneaux déterminantiels. On démontre qu’un tel anneau est un anneau normal de Cohen-Macaulay et on détermine ces qui sont de Gorenstein.
Dans le troisième partie on démontre le théorème de Hochster sur l’existence d’un “grand” module de Cohen-Macaulay sur un anneau local noethérien qui contient un corps (chapitre 8) et des conséquences: si \(R\) est un anneau local régulier qui contient un corps et \(S \supseteq R\) une \(R\)-algèbre finie, alors \(R\) est un summand direct de \(S\); les théorèmes d’intérsection de Peskin et Szpiro et de Roberts; application aux syzygies et aux nombres de Bass (chapitre 9).
Chaque paragraphe contient des exercises, certains sont utilisés dans le texte de base. La bibliographie contient 337 titres. La monographie est un excellent moyen de s’introduire au milieu d’un intéressant domaine actuel d’algèbre commutative.
Reviewer: N.Radu (Winsch)

MSC:
13C14 Cohen-Macaulay modules
13H10 Special types (Cohen-Macaulay, Gorenstein, Buchsbaum, etc.)
13D03 (Co)homology of commutative rings and algebras (e.g., Hochschild, André-Quillen, cyclic, dihedral, etc.)
13-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to commutative algebra
PDF BibTeX Cite