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An infinitesimal approach to the theorem by H. Clemens on cycles of a general quintic in \(\mathbb{P}^ 4\). (Une approche infinitésimale du théorème de H. Clemens sur les cycles d’une quintique générale de \(\mathbb{P}^ 4\).) (French) Zbl 0787.14003
On propose dans ce travail une démonstration alternative du théorème de H. Clemens [cf. Publ. Math., Inst. Hautes Étud. Sci. 58, 231-250 (1983; Zbl 0529.14002)] sur l’image de l’application d’Abel-Jacobi pour une quintique générale \(X\) de \(\mathbb{P}^ 4\):
Si \(X\) est générale, l’image de l’application d’Abel-Jacobi \(\Phi_ X\) de \(X\) est un sous-groupe dénombrable de \(JX\) qui tensorisé par \(\mathbb{Q}\) n’est pas de dimension finie sur \(\mathbb{Q}\).
La première étape consiste à étudier le lieu de Noether-Lefschetz pour les sections hyperplanes d’une quintique donnée \(X\): comme le fibré canonique de \(X\) est trivial, la codimension attendue des composantes du lieu de Noether-Lefschetz dans \({\mathbb{P}}(H^ 0({\mathcal O}_ X(1)))\) est égale à la dimension de cet espace, par la formule d’adjonction. On montre en §1 que pour \(X\) générale, il y a une infinité de composantes de ce lieu, qui sont formées de points isolés réduits de \(\mathbb{P}(H^ 0({\mathcal O}_ X(1)))\). D’autre part, on montre que de telles composantes se déforment de façon unique avec \(X\), ce qui permet de définir dans un voisinage de 0 dans \(\mathcal Y\), la famille des déformations de \(X\), où 0 paramètre \(X\), des fonctions normales, obtenues en notant que chaque élément du lieu de Noether- Lefschetz dans \(\mathbb{P}(H^ 0({\mathcal O}_ X(1)))\) détermine un cycle dans \(X\), défini modulo l’équivalence rationnelle. – On donne en §2 une formule pour l’invariant infinitésimal de ces fonctions normales, qui ne fait intervenir en un point \(\Sigma\) du lieu de Noether-Lefschetz \({\mathcal S}(X)\) que la donnée de la classe \(\lambda \in H^ 2(\Sigma,\mathbb{Z})\), supposée algébrique, et la structure polynômiale de l’anneau jacobien de \(\Sigma\).
Finalement, en §3, on montre que les invariants infinitésimaux des différentes fonctions normales ainsi obtenues engendrent un espace vectoriel de dimension infinie sur \(\mathbb{Q}\), dans l’espace vectoriel complexe où les invariants infinitésimaux “vivent” naturellement, ce qui permet d’obtenir la version suivante du théorème de H. Clemens:
Si \(X\) est générale, l’image par l’application d’Abel-Jacobi \(\Phi_ X\) des cycles de \(X\) supportés sur une section hyperplane de \(X\) est un sous-groupe de \(JX\) qui tensorisé par \(\mathbb{Q}\) est de dimension infinie sur \(\mathbb{Q}\).

MSC:
14C25 Algebraic cycles
14J30 \(3\)-folds
14K30 Picard schemes, higher Jacobians
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