×

zbMATH — the first resource for mathematics

Generalized equivalence of matrices over Prüfer domains. (English) Zbl 0749.13011
Es sei \(R\) ein kommutativer Ring, und \(M,N,P,Q\) seien endlich erzeugte projektive treue \(R\)-Moduln. \(R\)-Homomorphismen \(f:M\to N\) und \(g:P\to Q\) heißen homotop, wenn es \(R\)-Moduln \(A,B,C,D\), \(R\)-Homomorphismen \(h:A\to B\), \(k:C\to D\) und \(R\)-Isomorphismen \[ \varphi:M\otimes A\to P\otimes C,\quad\psi:N\otimes B\to Q\otimes D \] gibt, so daß \(\text{Im} h\), \(\text{Im} k\) direkte Summanden von \(B\) bzw. \(D\) sind und das entsprechende Diagramm die Kommutativitätsbedingung \(\psi\circ(f\otimes h)=(g\otimes k)\circ\varphi\) erfüllt. Die Homotopieklassen bilden hinsichtlich des Tensorprodukts von Homomorphismen ein Monoid \({\mathcal M}(R)\). Im Fall eines Dedekind-Rings kann jede Homotopieklasse durch eine Matrix repräsentiert werden, die eine direkte Summe von \(1\times 2\)-Matrizen ist. Verff. beweisen, daß dies auch im Fall von solchen Prüfer-Ringen zutrifft, die die Krull- Dimension Eins besitzen oder in denen jedes Element \(\neq 0\) in nur endlich vielen maximalen Idealen enthalten ist (endlicher Charakter). Bei Noetherschen Ringen \(R\) ist \(\dim R\leq 1\) für eine solche Repräsentierbarkeit der Klassen notwendig. Außerdem wird für Prüfer-Ringe \(R\) gezeigt, daß \({\mathcal M}(R)\) genau dann natürlich isomorph zu \(\bigoplus\{{\mathcal M}(R_ p):P\in\text{Max Spec} R\}\) ist, wenn \(R\) endlichen Charakter besitzt und wenn die zu den maximalen Idealen gehörenden Bewertungsringe paarweise unabhängig sind.

MSC:
13F05 Dedekind, Prüfer, Krull and Mori rings and their generalizations
13C10 Projective and free modules and ideals in commutative rings
15B33 Matrices over special rings (quaternions, finite fields, etc.)
13B10 Morphisms of commutative rings
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI EuDML