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Structure et théorie de Frattini d’une algèbre de Bernstein. (Structure and Frattini theory of a Bernstein algebra). (French) Zbl 0748.17036
Cet article a pour but l’étude approfondie de la structure des algèbres de Bernstein. Dans la première partie sont établies certaines propriétés des idéaux et des sous-algèbres des algèbres de Bernstein. Vient ensuite la caractérisation des algèbres de Bernstein-Jordan, et la construction d’une algèbre de Bernstein-Jordan à partir d’une algèbre de Bernstein sous certaines conditions.
Les deux parties suivantes traitent des propriétés du radical d’une algèbre de Bernstein, et des algèbres de Bernstein statiques; les auteurs y démontrent les théorèmes suivants: Soit \(A=Ke\oplus U\oplus V\) la décomposition d’une \(K\)-algèbre de Bernstein de dimension finie relativement à un idempotent non nul \(e\) et \(R\) un idéal de \(A\). Si \(R\) est le nilradical de \(A\), alors \(R\) est le radical résoluble \(N\) de \(A\).
Pour une telle décomposition de \(A\), \(A\) est une algèbre statique si et seulement si \(U^ 2=0\), \(V^ 2=0\) et \((UV)V=0\). La dernière partie étudie la sous-algèbre et l’idéal de Frattini d’une algèbre de Bernstein.

MSC:
17D92 Genetic algebras
17A65 Radical theory (nonassociative rings and algebras)
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