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Divergence-free fields: Energy and asymptotic crossing number. (English) Zbl 0746.57011
Soit \(W\) un champ sans divergence dans l’espace à 3 dimensions, conservé par une isotopie préservant le volume, \(h_ t\) avec \(h_ 0=id\), et \(W_ t\) le champ au temps \(t\); il y a un exemple de Zel’dovich sur la boule unité pour lequel l’énergie de \(W_ t\) est proche de \(0\). Un tel résultat est évité par l’existence de noeuds ou d’entrelacs des lignes intégrales du champ. On cherche des minorants pour l’énergie et on s’intéresse plus particulièrement au cas où \(W\) laisse invariant au moins un tore solide dont la géométrie peut se décrire en termes de modules conformes. On montre quel l’énergie est minorée, à flux constant, par un invariant topologique inspiré du nombre d’entrelacement asymptotique d’Arnold, le nombre de croisement asymptotique ac\((K)\) d’un noeud et sa généralisation ac\((L_ i;L)\) aux entrelacs.
Théorème: ac\((K) \geq 2 \text{genre}(K)-1\).
Et il y a un analogue pour les entrelacs. Les auteurs appliquent ce résultat au calcul de la puissance nécessaire pour maintenir un différence de potentiel de 1 volt dans un noeud trèfle en or d’une résistance de 1 milliohm. Un premier appendice décrit deux contextes physiques où l’on trouve un tel champ \(W\); un second établit l’existence d’un minorant pour le module conforme d’une famille de courbes.

MSC:
57R25 Vector fields, frame fields in differential topology
76B99 Incompressible inviscid fluids
57M25 Knots and links in the \(3\)-sphere (MSC2010)
57N10 Topology of general \(3\)-manifolds (MSC2010)
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