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The topology of torus actions on symplectic manifolds. Transl. from the French by the author. (English) Zbl 0726.57029
Progress in Mathematics, 93. Basel etc.: Birkhäuser Verlag. 181 p. sFr 69.00 (1991).
Ce livre de topologie différentielle est la traduction anglaise d’une publication d’Institut de Recherche Mathématique Avancée - IRMA Strasbourg 1989. Selon l’auteur le misprints et errata ont été corrigés et quelques détails de redaction modifiés. Ce livre s’adresse à des étudiants avancés au courant de la théorie des variétés des groupes de Lie, des fibrés et des méthodes d’approche de la topologie algébrique. Beaucoups de résultats et d’énoncés sont donnés sans démonstration, cependant exemples et exercices sont nombreux et variés. C’est une synthèse didactique de travaux cités en références qui demande beaucoup au lecteur. Le cadre est celui des variétés différentiables mais l’auteur utilise plutôt les méthodes de topologie algébrique, négligeant souvent les simplifications que pourraient apporter les hypothèses de différentiabilité. Ainsi on pourrait, à première vue, être surpris de voir apparaître dans ce contexte la construction formelle de Milnor pour les fibrés universels. Les deux premiers chapitres rappellent des résultats classiques sur les groupes de Lie et les variétés symplectiques, le chapitre III la théorie de Morse pour les hamiltoniens. Les variétés de dimension 4 sont étudiées dans le chapitre suivant et le chapitre V décrit la cohomologie equivariante (construction de Borel) et des résultats donnés par Duistermaat- Heckman. Un appendice est consacré à des résultats bien connus de topologie algébrique. Enfin le dernier chapitre justifie tout à fait le titre général de l’ouvrage. On déplore l’absence d’un index. Les références sont nombreuses. Pour les applications à la mécanique classique le lecteur devra se reporter aux ouvrages spécialisés.

MSC:
57S25 Groups acting on specific manifolds
53C15 General geometric structures on manifolds (almost complex, almost product structures, etc.)
55N91 Equivariant homology and cohomology in algebraic topology
57-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to manifolds and cell complexes
57-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to manifolds and cell complexes
53-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to differential geometry
53-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to differential geometry
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