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Spectral methods for initial boundary value problems - An alternative approach. (English) Zbl 0708.65089
Dans le présent article l’aut. propose une méthode nouvelle en vue de résoudre des problèmes aux valeurs initiales et aux limites ayant trait à des systèmes aux dérivées partielles de type hyperbolique. Ce procédé présente quelque analogie avec les méthodes multigrille spectrales [T. A. Zang, Y. S. Wong et M. Y. Hussaini, J. Comput. Phys. 54, 489-507 (1984; Zbl 0543.65071)] s’appliquant à la résolution de problèmes aux limites elliptiques.
Dans la classe envisagée l’aut. examine des problèmes se rapportant à des équations linéaires hyperboliques du premier ordre. Il essaye un développement limité en série double de produits de polynômes de Tchebycheff, auxquels on peut substituer les polynômes de Gegenbauer.
Se basant sur une version filtrée des valeurs initiales et aux limites, l’aut. applique la méthode de collocation à l’équation considérée en \((2N+1)^ 2\) points appropriés d’une grille carrée. Pour éluder un système surdéterminé, il choisit les coefficients inconnus \(\{a_{ij}\), \(0\leq i,j\leq N\}\) de façon à minimiser une moyenne pondérée des résidus aux points de la grille.
En considérant la théorie de H. O. Kreiss [Commun. Pure Appl. Math. 23, 277-298 (1970; Zbl 0188.411)] l’aut examine si les problèmes du genre indiqué sont bien posés. Il discute également les estimations d’énergie établies par J. Rauch [ibid. 25, 265-285 (1972; Zbl 0231.35054)].
Les poids résultent de ces estimations combinées aux règles d’intégration de Gauss-Lobatto. En outre une méthode spectrale dans l’espace et le temps est basée sur les évaluations de Kreiss-Rauch. L’aut. démontre que la solution approchée converge vers la solution exacte à un taux spectral de précision, et en x et en t. Finalement il esquisse une généralisation concernant une frontière uniformément caractéristique.

MSC:
65M70 Spectral, collocation and related methods for initial value and initial-boundary value problems involving PDEs
65M15 Error bounds for initial value and initial-boundary value problems involving PDEs
65M12 Stability and convergence of numerical methods for initial value and initial-boundary value problems involving PDEs
35L45 Initial value problems for first-order hyperbolic systems
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