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On Ramaswami’s algorithm for the computation of the steady state vector in Markov chains of M/G/1-type. (English) Zbl 0702.60085
Aux files d’attente à arrivées de Poisson et à temps de service i.i.d. sont associés naturellement des processus de Markov, à infinité dénombrable d’états, et de matrice de transition P où \(P_{ij}=P(I_ n=j | I_{n-1}=i)\), \(I_ n\) désignant le nombre de clients dans le système immédiatement après la fin du n-ième service.
Dans le cas P irréductible et récurrent positif, l’algorithme de V. Ramaswami [ibid. 4, No.1, 183-188 (1988; Zbl 0646.60098)] vise à déterminer le seul vecteur invariant x: \(x=xP\) à somme de composantes égale à 1. L’idée est d’utiliser une chaine de Markov finie de matrice \(P_ k\) (obtenue par troncature de la précédente) dont la mesure invariante y est proportionnelle aux valeurs correspondantes de celle cherchée: \(y_ n=C_ kx_ n\), \(n=0,1,...,k\), lex \(x_ i\) étant eux-mêmes des vecteurs car P et \(P_ k\) sont décomposés en blocs.
Cette étude établit ce résultat de manière directe. De plus comme les \(x_ n\) se calculent de manière récursive, il convient de disposer du vecteur \(x_ 0\) qui est ici calculé explicitement.
Reviewer: V.Cohen

MSC:
60K25 Queueing theory (aspects of probability theory)
60J10 Markov chains (discrete-time Markov processes on discrete state spaces)
65C05 Monte Carlo methods
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