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Modules de Hodge polarisables. (Polarisable Hodge modules). (French) Zbl 0691.14007
Dans son article sur la conjecture de Weil, parte II, P. Deligne [Publ. Math., Inst. Hautes Étud. Sci. 52, 137-252 (1980; Zbl 0456.14014)] a introduit la notion de complexe pur et démonté la stabilité par image directe pour les morphismes propres. Cette théorie des faisceaux pervers: Théorème de décomposition, stabilité des faisceaux pervers purs par image directe intermédiaire. Le but de cet article est de montrer qu’il existe en caractéristique 0 des objets correspondants aux complexes purs. Pour cela, l’A. utilise la théorie des \({\mathcal D}\)-modules filtrés. Il construit successivement les catégories des modules de Hodge de poids w, des modules localement décomposables par support strict et aboutit enfin en utilisant la théorie de la V-filtration de Malgrange-Kashiwara à la notion de module de Hodge polarisable. Il démontre alors que les modules de Hodge polarisable sont stables par image directe perverse par un morphisme projectif, établit un théorème de Lefschetz relatif et l’existence d’une polarisation sur les parties primitives. D’autre part, il montre que toute variation de structure de Hodge (V.H.S. en abrégé) sur une variété de poids w est un module de Hodge polarisable (de poids \(w+\dim (X)).\) Comme application, il obtient les résultats suivants:
Toute V.S.H. polarisable sur un ouvert de Zariski se prolonge en un module de Hodge polarisable.
On a un théorème de décomposition pour les images directes des complexes d’intersection par des morphismes à fibres projectives, provenant de systèmes locaux L relatifs à une V.H.S.
Pour un L comme ci-dessus, la cohomologie d’intersection est canoniquement munie d’une structure de Hodge polarisable.
Reviewer: J.M.Granger

MSC:
14C30 Transcendental methods, Hodge theory (algebro-geometric aspects)
32C38 Sheaves of differential operators and their modules, \(D\)-modules
14F40 de Rham cohomology and algebraic geometry
14F10 Differentials and other special sheaves; D-modules; Bernstein-Sato ideals and polynomials
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