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Die Unterscheidung von Homotopietyp und einfachem Homotopietyp bei zweidimensionalen Komplexen. (The difference of homotopy type and simple homotopy type for two-dimensional complexes). (German) Zbl 0675.57002
Homotopietyp und einfacher Homotopietyp stimmen bekanntlich für eindimensionale CW Komplexe überein und unterscheiden sich in den Dimensionen \(\geq 3\). In der vorliegenden Arbeit wird gezeigt, daß diese Begriffe auch in der Dimension 2 auseinanderfallen: Sei \(K_ 0\) ein endlicher, zusammenhängender 2-Komplex, \(\tau \in Wh(\pi_ 1(K_ 0))\). Man betrachte Komplexe \(K=K_ 0\vee K_ 1\vee...\vee K_ n\), wobei die \(K_ i\), \(i\geq 1\) Standardkomplexe der \({\mathbb{Z}}_ 2\times {\mathbb{Z}}_ 4\)-Präsentation \(<\alpha\), \(\beta | \alpha^ 2=[\alpha,\beta]=\beta^ 4=1>\) sind. Ist n groß genug (für \(\tau)\), so existiert ein 2-Komplex \(K_{\tau}\) und eine Homotopieäquivalenz f: \(K_{\tau}\to K\) mit \(\tau (f)=\tau\). Wie mit Hilfe einer Übertragung der Biasmethode von Dyer-Metzler-Sieradski von Homotopie auf einfache Homotopie gezeigt wird, kann f nicht immer durch eine einfache Homotopieäquivalenz ersetzt werden: beispielsweise existieren für die Standardkomplexe \(K_ 0\) der Präsentation \(<a\), \(b| a^ q=1\), \(ab^ ka^{-1}=b^{\ell}>\) mit \(\ell -k=\lambda k\), q, \(\lambda\) gerade, \(k\neq 1,2,3,4,6\) Werte \(\tau\) mit \(K_{\tau}\nrightarrow K\). Die Ergebnisse hängen mit verwandten und z.T. gemeinsamen Untersuchungen von Cynthia Hog-Angeloni, Paul Latiolais und Martin Lustig zusammen.
Reviewer: W.Metzler

MSC:
57M20 Two-dimensional complexes (manifolds) (MSC2010)
57Q10 Simple homotopy type, Whitehead torsion, Reidemeister-Franz torsion, etc.
55P10 Homotopy equivalences in algebraic topology
57M05 Fundamental group, presentations, free differential calculus
20F05 Generators, relations, and presentations of groups
20F34 Fundamental groups and their automorphisms (group-theoretic aspects)
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Full Text: Crelle EuDML