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Reverse Kleitman inequalities. (English) Zbl 0673.52011

Sei M eine Menge mit einer Halbordnung \(\leq\). Eine Teilmenge T heißt eine Aufwärtsmenge, wenn für \(m\in M\) aus \(t\leq m\) für ein \(t\in T\) folgt \(m\in T\). Analog heißt T eine Abwärtsmenge, wenn für \(m\in M\) aus \(m\leq t\) für ein \(t\in T\) folgt \(m\in T\). Für die Potenzmenge P[n] von \(\{\) 1,...,n\(\}\) hat D. J. Kleitman [J. Comb. Theory 1, 153-155 (1966; Zbl 0141.008)] gezeigt, daß \(2^ n| {\mathcal U}\cap {\mathcal D}| \leq | {\mathcal U}| | {\mathcal D}|\) für jede Abwärtsmenge \({\mathcal D}\subset P[n]\) und jede Aufwärtsmenge \({\mathcal U}\subset P[n]\) gilt. Weitgehende Verallgemeinerung dieser Ungleichung auf Wahrscheinlichkeitsräume finden sich in R. Ahlswede und D. E. Daykin, Z. Wahrsch. Verg. Geb. 43, 183-185 (1978; Zbl 0357.04011). Die Autoren bestimmen untere Schranken für \(| {\mathcal U}\cap {\mathcal D}|\), zunächst für \(M=P[n]\), woraus sich eine analoge Ungleichung für \(M={\mathbb{Z}}^ n\) ergibt. Es werden zwei verschiedene Beweise vorgestellt, wobei der zweite eine geometrisch-kombinatorische Idee, die der i-Kompression einführt. In den Abschnitten 2 und 3 werden verschiedene Paare \({\mathcal U}\) und \({\mathcal D}\) von Aufwärts- und Abwärtsmengen charakterisiert, für welche diese untere Schranke scharf ist. Ferner wird die Ungleichung auf den \({\mathbb{R}}^ n\) übertragen. Als Anwendungen hiervon ergibt sich ein kurzer Beweis einer Ungleichung von J. Saint-Raymond, Publ. Math. Univ. Pierre Marie Curie 46, Semin. Initiation Anal. 20e année, 1980/1981; Exp. No.11, 25 p. (1981; Zbl 0531.52006) über das Volumenprodukt P in normierten Räumen. Der Beweis liefert zugleich, wann diese Schranke für P scharf ist. Er bestätigt damit ein Resultat von M. Meyer [Isr. J. Math. 55, 317-327 (1986; Zbl 0531.52006)].
Reviewer: F.Hering

MSC:

52A40 Inequalities and extremum problems involving convexity in convex geometry
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