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Formes de Toeplitz associées à une analyse multi-échelle. (Toeplitz forms associated to a multiscale analysis). (French) Zbl 0661.42019

Let but de ce travail est l’étude des formes de Toeplitz associées à une analyse multi-échelle de \(L^ 2({\mathbb{R}}^ d)\). Soit \(\phi\) une fonction d’ondelette et soit \((V_ j)_{j\in {\mathbb{N}}}\) l’analyse graduée qui lui est associée. Une base inconditionnelle de \(V_ j\) est \((\Phi^ j_ h)_{h\in {\mathbb{Z}}^ d}\) où \(\Phi^ j_ h(x)=2^{dj/2} \phi (2^ jx_ 1-h_ 1)...\phi (2^ jx_ d-h_ d).\) Soit \(c^ j_{h,\ell}=\int \Phi^ j_ h(x){\bar \Phi}^ j_{\ell}(x)f(x)dx,\) la matrice de Toeplitz \(T_ j=(c^ j_{h,\ell})_{| h|,| \ell | \leq k(j)}\) est uniformément bornée lorsque \(f\in L^{\infty}({\mathbb{R}}^ d)\), L’auteur s’intéresse à la distribution asymptotique des valeurs propres \(\{\lambda^ j_ h\); \(| h| \leq k(j)\}\) de \(T_ j\) en considérant la mesure spectrale \(\mu_ j=2^{-dj}\sum_{| h| \leq k}\delta_{\lambda^ j_ h}\). Il montre le comportement asymptotique des moments \(M^ s_{j,k}\) de \(\mu_ j\) quand j tend vers \(+\infty\) et -\(\infty\). En fait, supposant que \(| \phi (x)| \leq C(1+| x|)^{-q-1}\) avec \(q>d\) si \(s\neq 1\), \(q>0\) sinon, et f, \(Df\in L^ 1\cap L^{\infty}\), alors si \(k=k(j)\) est tel que \(\lim_{j\to \infty}k2^{-j}=+\infty\), \(\lim_{j\to \infty}k^ d 2^{-(1+d)j}=0,\) on a \(\lim_{j\to \infty}M^ s_{j,k}=b^{*s}(0)\int f^ s(x)dx,\) où \(b(h)=\int \Phi (x){\bar \Phi}(x+h)dx.\) Alors si \(\phi\) est une ondelette associée orthogonale, \(\lim_{j\to \infty}\mu_ j(g)=\int g(f(x))dx\) pour \(g\in \Gamma =\{g\in C({\mathbb{R}})\); h est à croissance polynomiale et \(h(x)=x^{- 1}g(x)\}\). Si \(| \phi (x)| +| \phi '(x)| \leq C(1+| x|)^{-q-1}\) pour un \(q>d-1\) et si \(\int (| x| +1)| f(x)| dx<\infty,\) alors \(\lim_{j\to \infty}\nu_ j(g)=g(A\int f(x)dx),\) où \(g\in \Gamma\), \(A=\sum_{h\in {\mathbb{Z}}^ d}| \Phi (h)|^ 2\) et où \(\nu_ j=2^{dj}\sum_{| h| \leq k}\delta_{\lambda_ h^{-j}}.\)
Reviewer: J.Ludwig

MSC:

42C99 Nontrigonometric harmonic analysis
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