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Algebraic values of hypergeometric functions. (English) Zbl 0656.10030
New advances in transcendence theory, Proc. Symp., Durham/UK 1986, 68-81 (1988).
[For the entire collection see Zbl 0644.00005.]
Soient \(\alpha\),\(\beta\),\(\gamma\in\mathbb Q\), \(\gamma\neq 0,-1,-2,..\). et notons \[ F(z)=F(\alpha,\beta,\gamma \mid z)=1+\frac{\alpha \cdot \beta}{\gamma \cdot 1}\cdot z+\frac{\alpha (\alpha +1)\beta (\beta +1)}{\gamma (\gamma +1)\cdot 1\cdot 2}\cdot z^ 2+... \] une fonction hypergéométrique, J. Wolfart a donné une classification précise de ce type de fonction en regard de leurs valeurs en des points algébriques.
En particulier, si la fonction \(F(z)\) n’est pas elle-même algébrique, elle peut néanmoins prendre des valeurs algébriques sur un sous-ensemble de \(\overline{\mathbb Q}\) dense dans \(\mathbb C\). Les AA. exemplifient et précisent dans ce texte le résultat général sur la fonction \(F(z)=F(\frac 1{12},\frac 5{12},\frac 12\mid z),\) par une méthode appropriée. Ils établissent que \(F(z)\in \overline{\mathbb Q}\) (\(\xi\in\overline{\mathbb Q}\); \(| \xi | <1\)) si et seulement si \(\xi\) est de la forme \(\xi =1-J(\tau)^{-1}\) où \(\tau\in\mathbb Q(i)\), \(\text{Im}\,\tau >0\) et \(J\) désigne l’invariant modulaire (normalisé par \(J(i)=1\)).
Cette dernière condition est encore équivalente à \(\xi =J(\tau)/(J(\tau)- 1)\) où \(\tau\in\mathbb Q(\sqrt{-3})\), \(\text{Im}\,\tau >0\). Enfin, les AA. livrent différentes valeurs algébriques de \(F\), en des points rationnels, exotiques.

MSC:
11J91 Transcendence theory of other special functions