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Solving ordinary differential equations. I: Nonstiff problems. (English) Zbl 0638.65058
Springer Series in Computational Mathematics, 8. Berlin etc.: Springer- Verlag XIII, 480 p.; DM 124.00 (1987).
Mit diesem Buch ist den drei Autoren ein großer Wurf gelungen. Es genügt den verschiedensten Anforderungen, die man an ein derartiges Werk stellen kann: Das behandelte Gebiet wird mit der größten Kennerschaft dargestellt, es ist äußerst übersichtlich aufgebaut, die Sachverhalte werden, ausgehend von einfachen Situationen und das Verständnis entwickelnd, erklärt, es kommen historische, theoretische, praktisch numerische Gesichtspunkte gleichermaßen zur Geltung, die Präsentation ist nicht zuletzt durch die enthaltenen 105 Figuren sehr anschaulich und zudem ist es gelungen, einen bei einem mathematischen Buch seltener zu findenden kurzweiligen, ja geradezu amüsanten Stil zu entwickeln. Alles in allem ist es ein Vergnügen, die 432 Seiten Text (48 S. beinhaltend Programmlistungen, Referenzen und Indizes treten noch hinzu) zu studieren.
Das Buch gliedert sich in drei Kapitel: I: Classical Mathematical Theory (125 S.), II: Runge-Kutta und Extrapolation Methods (175 S.), III: Multistep Methods and General Linear Methods (128 S.).
In einer Monografie über numerische Methoden bei Differentialgleichungen brauchte das vorliegende erste Kapitel nicht unbedingt enthalten zu sein, ein Verzicht darauf würde die Seitenzahl (und den Verkaufspreis) herunterdrücken. Aber ganz offensichtlich wollten die Autoren ihre Sicht der Dinge loswerden, und sie haben dabei von der Sache her gutgetan. Dieses Kapitel sollte man nicht vergessen heranzuziehen, wenn es um eine Vorlesung über die Grundlagen der Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen geht. Unter seinen 16 Abschnitten sind die Überschriften “Differential Inequalities”, “Stability”, “Periodic Solutions, Limit Cycles, Strange Attractors” zu finden. Im zweiten Kapitel findet sich alles zu den Runge-Kutta- Verfahren bei nichtsteifen Differentialgleichungen. Sehr genau werden die Ordnungsbedingungen (Kap. II.2: Order Conditions for RK Methods, II.11: Composition of B-Series, II.14: P-Series for Partitioned Ordinary Differential Equations) und die asymptotischen Entwicklungen (dieses später auch für Mehrschrittverfahren in Kap. III.9) einschließlich der Extrapolationsverfahren behandelt (Kapitel II.8, II.9). Die Abschnitte II.4, II.5, II.10 sind exklusiv praktischen Gesichtspunkten gewidmet wie Fehlerschätzungen und Schrittweitensteuerung (u.a. eingebettete Runge-Kutta-Verfahren, spezielle Runge-Kutta-Fehlberg-Verfahren und Formeln von Dormand und Prince) und anderen numerischen Fragen (u.a. Ausgabe der Lösung, speziell stetig eingebettete Formeln, Startschrittweite), wobei instruktive numerische Studien angegeben werden, dies auch in vielen weiteren Abschnitten. Zu diesen gehören “Higher Derivative Methods”, “Numerical Methods for Second Order Differential Equations”, “Delay Differential Equations”. Die ersten vier Abschnitte des dritten Kapitels enthalten alles Geläufige und noch mehr aus der Theorie der Mehrschrittverfahren auf uniformen Gittern. Abschnitt III.5 ist den Methoden auf variablen Gittern, III.6 den Nordsieck-Methoden (in großer Klarheit) gewidmet. Auch hier ist ein Abschnitt numerischer Gesichtspunkte unter Einbeziehung der wichtigsten existierenden Implementationen vorhanden. In Abschnitt III.8 wird ein Schritt auf eine Theorie allgemeiner linearer Methoden unternommen; zu diesem Thema sollte man auch Kapitel 4 des Buches von J. C. Butcher [The numerical analysis of ordinary differential equations. Runge-Kutta and general linear methods (1987; Zbl 0616.65072)] konsultieren. Das dritte Kapitel schließt mit einem reichhaltigen Abschnitt über Mehrschrittverfahren für Gleichungen 2. Ordnung. Erwähnt werden muß auch die große Zahl von Übungen, die am Ende fast jeden Abschnitts gegeben werden.
Das vorliegende Buch darf in keiner einschlägigen Bibliothek fehlen. Es dürfte für alle in Frage kommenden Leser wertvolle Dienste leisten: Dem Studenten, der eine gut verständliche und erklärende Einführung sowie Weiterführung findet, dem Dozenten, der Material für Vorlesungen auf jedem Niveau findet und dem Forscher, dem der aktuelle Wissensstand gut aufbereitet dargeboten wird. Mit der Anschaffung dieser Monografie könnten manche existierende Beiträge zu dem behandelten Gebiet entbehrlich werden, wenn da nicht noch der (mit Spannung zu erwartende) Teil II fehlen würde. Und auf das Erscheinungsjahr dieses kann man geneigt sein zu extrapolieren vermöge des Zitates aus einem Brief der Autoren aus dem Jahre 1980 an den Springer-Verlag (S. IV): “This gives us a good occasion to work out most of the book until next year”, wobei vermutet werden kann, daß die steifen Probleme darin bereits inbegriffen waren.
Reviewer: R.D.Grigorieff

MSC:
65L05 Numerical methods for initial value problems
65-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to numerical analysis
65L20 Stability and convergence of numerical methods for ordinary differential equations
34A30 Linear ordinary differential equations and systems, general
34A34 Nonlinear ordinary differential equations and systems, general theory
65J99 Numerical analysis in abstract spaces
34A12 Initial value problems, existence, uniqueness, continuous dependence and continuation of solutions to ordinary differential equations
34-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to ordinary differential equations